2.2. Методы решения нелинейных уравнений. Метод хорд

Задача. Отыскать корень уравнения с точностью . Пусть имеем отрезок [a0, b0], на концах которого меняет свой знак, где - монотонная функция. Пусть .

На рис. 3 задача отыскания корня методом хорд представлена графически. Любая точка отрезка [a0, b0] может быть первым приближением корня. Соединим точки А и В прямой, т. е. проведем хорду. Таким образом, получим b1, которое является приближением корня.

Воспользуемся уравнением пучка прямых, проходящих через точку B(b0, F(b0)).

Y–y0=k(x–x0), y–F(b0)=k(x–b0).

Хорда должна проходить через точку A(a0, F(a0)), т. е.

.

Запишем уравнение прямой

.

Рис. 2

Рис. 3

Проведенная прямая пересекает ось ох

.

Найдем х при у=0

.

Далее, сравнивая знаки F(b1) и F(b0), найдем новый отрезок [b1, a0]. Соединим новой хордой точки А и В1, таким образом найдем новое приближение корня. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока F(bi) не станет по модулю меньше числа : . При решении этим методом потерять корень невозможно.

Рабочая формула метода хорд:

,

Где b – начало отрезка, а – конец ( точка а неподвижна).

Неподвижен тот конец, для которого знак функции совпадает со знаком ее второй производной .

Блок–схема алгоритма метода хорд представлена на рис. 4, где [a, b] – отрезок, в котором находится корень уравнения; b – корень уравнения; n – число итераций; F(bi) – значения функции в соответствующей точке.

Яндекс.Метрика