2.3. Методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона (метод касательных)

Как и ранее, находим корень . Имеем точность и

Отрезок [a, b], в котором находится изолированный корень. В

Качестве начального приближения принимается тот конец отрезка [a, b], для которого выполняется условие . Обратимся к рис. 5, на котором представлено графическое решение задачи. Из точки А0 проведена касательная к функции. Точка пересечения касательной с осью ох является первым приближением корня, на рис. 5 она обозначена как а1. Затем из точки а1 проводим прямую, перпендикулярно оси ох. Точку пересечения этой прямой с функцией обозначим через А1 и т. д.

Рис. 4

Запишем уравнение прямой, касательной к :

Y-y0=k(x-x0), y=0 ,

Где

Рис. 5

Рис. 6

Рабочая формула метода касательных:

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не станет меньше заданного числа : . При работе с этим методом возможна потеря корня, но при правильном применении метода он сходится быстро, 4-5 итераций дают погрешность 10-5, он используется также для уточнения значения корня [5]. Блок-схема алгоритма метода касательных представлена на рис. 6, где an – корень уравнения; n – число итераций; F(an) - значение функции в соответствующей точке.

Яндекс.Метрика