Теория вероятности и математическая статистика

Вариант 7

1.  В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 5 счетов. При условии, что 3% счетов содержат ошибки, найдите числовые характеристики этого распределения. Чему равна вероятность того, что хотя бы 1 счет будет с ошибкой.

Решение

Число правильных счетов есть случайная величина X, которая может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4. Вероятности этих значений определим по формуле Бернулли: pn(m) = , где q=0,03 - вероятность неправильного счета, а p=1-q=1-0,03 = 0,97 - вероятность правильного счета. Получим

P (X=0) = p5(0) = 0,0000000243

P (X=1) = p5(1) = 0,000004

P (X=2) = p5(2) = 0,00025

P (X=3) = p5(3) = 0,0082

P (X=4) = p5(4) = 0,133

P (X=5) = p5(5) = 0,859

Сделаем проверку. Сумма вероятностей должна быть равна 1. Действительно,

0,0000000243+0,000004+ 0,00025+0,0082+0,133+0,859=1

Распределение случайной величины X

X

0

1

2

3

4

5

P

0,00000002

0,000004

0,00025

0,0082

0,133

0,859

Определим числовые характеристики этого распределения. Математическое ожидание дискретной случайной величины X находим по формуле

M (X) = ,

Где - возможные значения X, а - соответствующие вероятности.

M(X) = 0*0,00000002 + 1*0,000004+2*0,00025+3*0,0082+4*0,133+5*0,859 = 4,85

Дисперсию случайной величины X находим по формуле

.

Так как

M(X2) = 0*0,00000002 + 1*0,000004+4*0,00025+9*0,0082+16*0,133+25*0,859 = 23,68

То

D(X) = 23,68 – (4,85)2 = 0,155

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно

Найдем функцию распределения вероятностей F(X).

Если х ≤ 0, то F(x) = 0

Если 0 ≤ х ≤ 1, то F(x) = 0*0,00000002

Если 1 ≤ х ≤ 2, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 = 0,00000402

Если 2 ≤ х ≤ 3, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 +0,00025= 0,00025402

Если 3 ≤ х ≤ 4, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 +0,00025+0,0082= 0,00845402

Если 4 ≤ х ≤ 5, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 +0,00025+0,0082+0,133= 0,14145402

Если x > 5, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 +0,00025+0,0082+0,133+0,859 = 1

График функции

Событие A, состоящее в том, что хотя бы 1 счет будет с ошибкой, является противоположным к событию, что все счета будут правильными, следовательно,

P(A) = 1 – P(X = 5) = 1-0,859 = 0,141

Вероятность того, что хотя бы 1 счет будет с ошибкой, равна 0,141.

2.  Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением и неизвестным математическим ожиданием. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 12439. Найдите ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

Решение

Вероятность того, что число ежемесячных заказов превышает 12349:

P(|X|>12349) = 1 - P(|X|<12349) = 0,9

По определению, для вероятности P(|X|<12349):

P(|X|<12349) = Ф (

Где - математическое ожидание, то есть ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц. По таблице функции Лапласа найдем Ф(х) = 0,1 , тогда х=0,25.

Тогда:

Ответ:

3. Длительность междугородних телефонных разговоров распределена примерно по показательному закону, разговор продолжается в среднем 3 мин. Найти вероятность того, что очередной разговор будет продолжаться более 3 мин. Найти вероятность того, что разговор, который длится уже 10 мин, закончится в течении ближайшей минуты, а также математическое ожидание и дисперсию длительности разговора.

Решение

Для показательного распределения математическое ожидание МХ = . Тогда Дисперсия длительности разговора равна:

DX =

Вероятность того, что разговор, будет продолжаться более 3 мин, является противоположным к событию, что разговор продолжается менее 3 мин:

P(|X|>3) = 1 – P(|X|<3) = 1 -

Вероятность того, что разговор, который длится уже 10 мин, закончится в течении ближайшей минуты:

P{X<11|X>10} =

Ответ: DX ; P(|X|>3) = 0; P{X<11|X>10}

2.

Для заданного интервального ряда выборки проверить гипотезу: закон распределения генеральной совокупности является нормальным.

M

Интервалы

Частоты

1

2

16

(2,2;3,0)

(3,0;3,8)

(3,8;4,6)

(4,6;5,4)

(5,4;6,2)

(6,2;7,0)

(7,0;7,8)

5

10

35

20

15

8

7

Решение

Используя метод произведений, найдем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Интервалы*

Частоты

Ui

Niui

2,6

5

-3

-15

45

20

3,4

10

-2

-20

40

10

4,2

35

-1

-35

35

0

5

20

0

0

0

20

5,8

15

1

15

15

60

6,6

8

2

16

32

72

7,4

7

3

21

63

112

N

100

-18

230

294

- выборочная средняя

– выборочное среднее квадратическое отклонение

Вычислим теоретические частоты:

I

1

2,6

-1,4702

0,1354

7,173492

2

3,4

-0,9404

0,2565

13,58937

3

4,2

-0,4106

0,3668

19,43306

4

5

0,119205

0,3961

20,98538

5

5,8

0,649007

0,323

17,11254

6

6,6

1,178808

0,1989

10,53772

7

7,4

1,708609

0,094

4,98012

93,81169

Из расчетной таблицы получаем. Найдем по таблице критических точек распределения По уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=7-2=5 критическую точку правосторонней критической области (0,05; 5) = 11,1

Так как, то гипотеза о нормальном распределении отвергается.

Ответ: гипотеза о нормальном распределении отвергается

3.

В таблице случайных чисел цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 встретились следующее число раз:

Цифры

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Частоты

106

121

128

96

113

117

109

103

119

120

Здесь i – номер варианта. С помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о том, что все цифры встречаются в таблице равновероятно. За уровень значимости принять

Решение

Найдем выборочную среднюю:

Цифры

Частоты

Ui

Niui

0

106

-4

-424

1696

954

1

121

-3

-363

1089

484

2

128

-2

-256

512

128

3

96

-1

-96

96

0

4

113

0

0

0

113

5

117

1

117

117

468

6

109

2

218

436

981

7

103

3

309

927

1648

8

119

4

476

1904

2975

9

120

5

600

3000

4320

N

1132

581

9777

12071

- выборочная средняя

– выборочное среднее квадратическое отклонение

Найдем параметры a и b:

A*= = 0,5

B*= = 9,52

Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:

F(x) =

Найдем теоретические частоты:

Длины третьего-девятого интервала равны длине второго интервала, поэтому теоретические частоты одинаковы и равны

Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона, приняв число степеней свободы k=s-3=10-3=7

I

1

106

43,74

1913,188

30,729

2

121

-3,52

12,3904

0,099505

3

128

3,48

12,1104

0,097257

4

96

-28,52

813,3904

6,532207

5

113

-11,52

132,7104

1,065776

6

117

-7,52

56,5504

0,454147

7

109

-15,52

240,8704

1,934391

8

103

-21,52

463,1104

3,719165

9

119

-5,52

30,4704

0,244703

10

120

55,25

3052,563

47,14382

92,01997

Из расчетной таблицы получаем. Найдем по таблице критических точек распределения По уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=7 критическую точку правосторонней критической области (0,05; 7) = 14,1

Так как, то гипотеза о равномерном распределении отвергается.

Ответ: гипотеза о равномерном распределении отвергается

Яндекс.Метрика