Кратные интегралы (укр)
2. Обчислити об’єм тіла, обмеженого заданими поверхнями:
Изобразим данное тело
Найдём проекцию данного тела на плоскость хОу.
Перейдём к полярным координатам
Тогда объём по формуле равен
Ответ: (куб. ед.)
4. Обчислити інтеграл , де L – дуга кривої
По формуле
Имеем: , , .
Следовательно,
.
Ответ:
5. Обчислити інтеграл , де L – контур трикутника зі сторонами
Решение
Изобразим данный треугольник:
Так как контур интегрирования замкнут, то можно воспользоваться формулой Грина .
В нашем случае . Тогда
Интеграл численно равен площади данного треугольника.
Получим
Ответ: .
6. Обчислити течію векторного поля через замкнуту поверхню S безпосередньо і за допомогою теореми Остроградського-Гаусса: , .
Решение
Изобразим данную поверхность
1)
Вычислим поток векторного поля по формуле:
, где ‑ нормальный единичный вектор к поверхности .
Поток через часть боковой поверхности конуса
Найдем вектор
.
Перейдём к полярным координатам
Поток через основание: ,
Тогда
2) По теореме Остроградского-Гаусса.
Поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали вычисляется по формуле .
Тогда
Вычисляем поток с помощью тройного интеграла:
Перейдём к циллиндрическим координатам
Ответ:
7. Обчислити циркуляцію векторного поля Вздовж контура безпосередньо та за допомогою теореми Стокса: , .
Решение
1.)
Параметризируем данный контур
Следовательно:
По формуле Стокса
,
Переходим к полярным координатам, тогда
Ответ:
8. Пересвідчитися, що векторне поле потенціальне та обчислити його потенціал: .
Решение
Найдём ротор поля
Следовательно поле потенциально.
Потенциал поля найдем по формуле
Положив в ней . Тогда
Ответ:
< Предыдущая | Следующая > |
---|