Кратные интегралы (укр)

2. Обчислити об’єм тіла, обмеженого заданими поверхнями:

Решение

Изобразим данное тело

Найдём проекцию данного тела на плоскость хОу.

Перейдём к полярным координатам

Тогда объём по формуле равен

Ответ: (куб. ед.)

4. Обчислити інтеграл , де L – дуга кривої

Решение

По формуле

Имеем: , , .

Следовательно,

.

Ответ:

5. Обчислити інтеграл , де L – контур трикутника зі сторонами

Решение

Изобразим данный треугольник:

Так как контур интегрирования замкнут, то можно воспользоваться формулой Грина .

В нашем случае . Тогда

Интеграл численно равен площади данного треугольника.

Получим

Ответ: .

6. Обчислити течію векторного поля через замкнуту поверхню S безпосередньо і за допомогою теореми Остроградського-Гаусса: , .

Решение

Изобразим данную поверхность

1)

Вычислим поток векторного поля по формуле:

, где ‑ нормальный единичный вектор к поверхности .

В нашем случае

Поток через часть боковой поверхности конуса

Найдем вектор

.

Перейдём к полярным координатам

Поток через основание: ,

Тогда

2) По теореме Остроградского-Гаусса.

Поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали вычисляется по формуле .

Тогда

Вычисляем поток с помощью тройного интеграла:

Перейдём к циллиндрическим координатам

Ответ:

7. Обчислити циркуляцію векторного поля Вздовж контура безпосередньо та за допомогою теореми Стокса: , .

Решение

1.) 

Параметризируем данный контур

Следовательно:

По формуле Стокса

,

Переходим к полярным координатам, тогда

Ответ:

8. Пересвідчитися, що векторне поле потенціальне та обчислити його потенціал: .

Решение

Найдём ротор поля

Следовательно поле потенциально.

Потенциал поля найдем по формуле

Положив в ней . Тогда

Ответ:

Яндекс.Метрика