Контрольная работа

Задача 1

Найти общее решение дифференциального уравнения и выделить частное решение, удовлетворяющее начальному условию.

Решение

Перепишем данное уравнение так: Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где U и V две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве V одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию V во второе уравнение . Получим .

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию И:

Возвращаясь к функции У, получим

Используя начальное условие находим С: .

Тогда окончательно:

Ответ:

Задача 2

Найти общее решение дифференциального уравнения и выделить частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

Решение

Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .

Отсюда - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем: , .

Обратная подстановка , получим , тогда

Используем начальное условие .

Получим . Тогда

,

Используем начальное условие .

Окончательно:

Ответ:

Задача №3

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям ().

Решение

Решим соответствующее однородное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет корни следовательно, решение однородного уравнения .

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде . Далее имеем ,

Подставляя в исходное уравнение, получим:

Тогда частное решение будет иметь вид

Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид .

Постоянные и находим из начальных условий:

Тогда окончательно .

Ответ:

Задача №4

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

Решение

Рассмотрим характеристическое уравнение:

;

Подставим найденные значения корней характеристического уравнения в систему линейных алгебраических уравнений относительно , .

Для имеем

;

(второе уравнение есть следствие первого). Возьмем, например, ; тогда . Полагая , найдем ; . Итак, для получим ; .

Для Имеем

;

(второе уравнение есть следствие первого). Возьмем, например, ; тогда . Полагая , найдем ; . Итак, для получим ; .

Фундаментальная система решений:

Для : ; .

Для : ; .

Следовательно, общее решение системы имеет вид

; .

Ответ: ; .

Задача №5

Решить уравнение колебаний струны методом Фурье.

: :

Решение

Решение дифференциального уравнения свободных колебаний струны имеет вид: , где

, .

Находим

.

Интеграл берем по частям; , , откуда , ; следовательно;

.

Итак,

Окончательно, получим . Далее, находим

Окончательно получим .Таким образом, искомая функция имеет вид:

Ответ:

Задача №6

Ящик содержит 10 деталей, среди которых 3 стандартных. Найти вероятность того, что из наудачу отобранных 5 деталей окажется не более одной стандартной.

Решение

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 5 деталей из 10 .

Число благоприятствующих исходов равно числу возможных вариантов извлечения либо 5 нестандартных деталей либо 1й стандартной и 4х нестандартных, то есть

По формуле классического определения вероятности:

Ответ:

Задача №7

Вероятность появления события А при одном испытании равна 0,1. Найти вероятность того, что при трех независимых испытаниях оно появится: 1) не менее двух раз; 2) хотя бы один раз.

Решение

Используем формулу Бернулли:

В нашем случае p=0.1, q=1-0.1=0.9. n=3. Тогда:

1)  P(k≥2)=P(2,3)+P(3,3)

Имеем P(k≥2)=0,027+0,001=0,028

2)  Искомую вероятность будем искать используя вероятность противоположного события. Найдём вероятность того, что из 3х испытаний событие А не появится ни в одном случае.

Имеем:

Тогда, вероятность того, что при трех независимых испытаниях событие А появится хотя бы один раз P=1-0.9³=1-0,729=0,271

Задача №8

Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных прохожих окажутся 32 женщин (предполагая, что число мужчин и женщин в городе одинаково)?

Решение

Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

В нашем случае p=q=0.5. n=100, k=32. Тогда

;

Ответ:

Задача №9

Заданы математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины . Найти: 1) Вероятность того, что примет значения, принадлежащие интервалу ; 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше .

=9, =4, =15, =15, =18

Решение

1) найдём вероятность того, что X примет значение из интервала (α;β) ;

P(α<X<β)=Ф- Ф

P(15<X<15)=Ф- Ф=Ф(1,5) – Ф(1.5)=0

2) найдём вероятность того, что X отклонится (по модулю) от А не более, чем на δ ;

Воспользуемся формулой : P(|X-a|<δ)=2Ф(δ/σ)

В нашем случае : P(|X-9|<18)=2Ф(18/4)=2Ф(4,5)=2×0.4999=0.9998

Задача №10

Случайная величина задана функцией распределения . Найти плотность распределения вероятностей , математическое ожидание , дисперсию , вероятность .

Решение

Дифференциальную функцию F(x), Получаем дифференцируя функцию F(x):

Математическое ожидание случайной величины X:

Дисперсия случайной величины X:

Определим вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (0; 0,5).

P(X1 £ X < X2) = F(X2) - F(X1) = F(0,5) - F(0) = – 0 = 1/5

P(0£ X < 0,5)=0,2

Задача №11

Найти доверительные интервалы, для оценки математического ожидания нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю , объем выборки и среднее квадратичное отклонение .

=75,15, =8, =64

Решение

Требуется найти доверительный интервал (*)

Все величины, кроме T, известны. Найдем T из соотношения . По таблице находим T=1,96. Подставим в неравенство T=1,96, =75,15, =8, П=64 в (*).

Окончательно получим искомый доверительный интервал

Ответ:

Задача №12

Найти выборочное уравнение прямой Регрессии на по данной корреляционной таблице.

	15	20	25	30	35	40
25	3	4	-	-	-	-	7
35	-	6	3	-	-	-	9
45	-	-	6	35	2	-	43
55	-	-	12	8	6	-	26
65	-	-	-	4	7	4	15
	3	10	21	47	15	4

Решение

Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:

Найдем необходимые числовые характеристики:

Выборочные средние:

(25(3 +4)+35(6+3)+45(6 + 35 + 2) + 55(12 + 8 + 6) + 65(4 + 7 + 4))/100 = 48.3

(15(3)+20(4+6)+25(3+6+12)+30(35+ 8 + 4) + 35(2 + 6 +7) + 40(4))/100=28.65

Дисперсии:

σ2x=(252(3+4)+352(6+3)+452(6+35+2)+552(12+8+6)+652(4+7+4))/100- 48.32=112.11

σ2y=(152(3)+202(4+6)+252(3+6+12)+302(35+8+4)+352(2+6+7)+402(4))/100-28.652=27.93

Откуда получаем среднеквадратические отклонения: σx = 10.59 и σy = 5.28

И ковариация:

Cov(x, y) = (25•15•3+25•20•4 + 35•20•6 + 35•25•3 + 45•25•6 + 55•25•12 + 45•30•35 + 55•30•8 + 65•30•4 + 45•35•2+55•35•6+65•35•7+65•40•4)/100-48.3•28.65 = 40.96

Определим коэффициент корреляции:

Запишем уравнения линий регрессии y(x):

И вычисляя, получаем: yx = 0.37 x + 11.01

Ответ: yx = 0.37 x + 11.01

< Предыдущая		Следующая >