logo

Решение контрольных по математике!!!

Home

Случайные величины

1. В результате эксперимента получены следующие значения с. в.:

3; 6; 8; 11; 6; 10; 7; 9; 7; 3; 4; 8; 2; 7; 9; 4; 9; 11; 7; 8; 4; 10; 5; 6; 7.

Построить полигон частот и статистическую функцию распределения. Найти выборочное среднее, дисперсию, моду и медиану.

Решение. Имеем выборку объема N = 25. Построим ранжированный (в порядке возрастания) ряд вариант с соответствующими им частотами. Для этого сначала ранжируем варианты выборки.

Получаем:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11.

Подсчитав количество повторений каждой варианты, получим требуемый дискретный вариационный ряд распределения выборки с. в. X:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

2

3

1

3

5

3

3

2

2

Полигоном частот называют ломанную, отрезки который соединяют точки (X1, N1), (X2, N2), …, (Xk, Nk).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты Xi, а на оси ординат – соответствующие им частоты Ni. Точки (Xi, Ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот:

Для определения частостей вариант нужно вычислить для каждой варианты отношение Ni/N = WI, где N = 25 – объем выборки.

Получаем вариационный ряд вариант с соответствующими им частостями:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0,04

0,08

0,12

0,04

0,12

0,2

0,12

0,12

0,08

0,08

Статистической функцией распределения называется относительная частота (частность) того, что признак примет значение, меньшее заданного , т. е.

Запишем значения статистической (эмпирической) функции распределения в аналитическом виде:

Ее график имеет вид:

Определим выборочную среднюю:

.

Вычислим дисперсию:

Медианой вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений:

Модой называется варианта, которой соответствует наибольшая частота:

2. Результаты исследования числа покупателей в универсаме в зависимости от времени работы приведены в таблице

Часы работы

9–10

10–11

11–12

12–13

Число покупателей

41

82

117

72

Можно ли утверждать при уровне значимости A = 0.05, что число покупателей подчинено нормальному закону?

Решение.

Интервал

Частота

Середина интервала

9

10

41

9,5

10

11

82

10,5

11

12

117

11,5

12

13

72

12,5

Определим выборочную среднюю:

Вычислим дисперсию:

Выдвигаем гипотезу о распределении исследуемой случайной величины по нормальному закону.

Вычислим теоретические частоты, учитывая, что по формуле

Получаем:

Составим расчетную таблицу:

9,5

-1,705

-1,77

0,0833

26,93

10,5

-0,705

-0,73

0,3056

98,81

11,5

0,295

0,31

0,3802

122,92

12,5

1,295

1,34

0,1626

52,57

Найдем наблюдаемое значение критерия Пирсона:

,

Для чего составим расчетную таблицу.

41

26,93

14,07

197,965

7,351

82

98,81

-16,81

282,576

2,860

117

122,92

-5,92

35,046

0,285

72

52,57

19,43

377,525

7,181

N = 312

Из таблицы находим наблюдаемое значение критерия: .

По таблице критических точек распределения , по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы K = S – 3 = 4 – 3 = 1 находим критическую точку правосторонней области

Так как гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отклоняем.

3. Средний диаметр подшипников должен составлять 35 мм. Однако для выборки из 82 подшипников он составил 35.3 мм. При исправленном с. к.о. 0.1 мм. При 5% уровне значимости проверить гипотезу о том, что станок, на котором изготавливают подшипники, не требует подналадки.

Решение. Рассмотрим две альтернативные гипотезы

и .

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид , поэтому критическая область – двусторонняя. По уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы находим по таблице критических точек распределения Стьюдента критическую точку

Так как , то нулевую гипотезу отклоняем. Другими словами, выборочная средняя значимо отличается от гипотетической генеральной средней , следовательно, станок требует наладки.

4. На основании полученных измерений двух случайных величин

X

4

6

8

10

12

Y

5

8

7

9

14

Найти линейную регрессию X на Y и выборочный коэффициент корреляции.

Решение. Оценим линейную регрессию

,

Воспользуемся нормальной системой метода наименьших квадратов:

Составим расчетную таблицу:

Х

Y

4

5

16

25

20

6

8

36

64

48

8

7

64

49

56

10

9

100

81

90

12

14

144

196

168

∑ = 40

∑ = 43

∑ = 360

∑ = 415

∑ = 382

Получаем:

То есть уравнение регрессии имеет вид .

Линейный выборочный коэффициент корреляции определяется формулой:

Значение выборочного коэффициента корреляции R=0,894 свидетельствует о возможности прямой сильной связи между признаками.

 
Яндекс.Метрика
Наверх