Приведение к каноническому виду общего уравнения кривых второго порядка

Задание 1. Определить тип кривой 2-го порядка, привести к каноническому виду её уравнение

Построить кривую.

Решение. Представим уравнение кривой в виде , где и – её квадратичная форма и линейная часть соответственно. Матрица квадратичной формы , , значит, кривая параболического типа.

Составим характеристическое уравнение:

Откуда , . Найдём собственные векторы.

При получим, что , откуда или . Пусть – базисная переменная, – свободная, тогда при получим , а соответствующий собственный вектор . Аналогично, при : , откуда , т. е. , тогда .

и ортогональны, так как соответствуют различным собственным значениям. Это можно проверить, вычислив непосредственно их скалярное произведение . Так как , то ОНБ из собственных векторов составят

и .

Проведём проверку соответствия ориентации ОНБ ОНБ . Для этого составим матрицу из векторов построенного ОНБ. Если , то надо менять и местами, если , то ориентации базисов совпадают. В нашем случае ориентации базисов совпадают, так как .

В этом базисе квадратичная форма примет вид: , при этом является матрицей перехода от ОНБ к ОНБ . Связь между координатами в этих базисах выражается соотношениями , . Подставляя эти разложения в линейную часть уравнения кривой, получим

Уравнение параболы примет вид: , или , т. е. , где , . Её график изображен на рисунке 11.

Ответ: парабола; .

Рисунок 11

Задание 2. Определить тип кривой 2-го порядка, привести к каноническому виду её уравнение

Построить кривую.

Решение. Представим уравнение кривой в виде , где и – её квадратичная форма и линейная часть соответственно. Матрица квадратичной формы , её , значит, кривая эллиптического типа.

Для нахождения собственных значений составим характеристическое уравнение: . Его корни , . Найдём собственные векторы.

При : , откуда получаем, что . Если – базисная переменная, – свободная, то, полагая , получим , тогда . Аналогично, при : , откуда, тогда .

Собственные векторы и ортогональны , а , тогда ОНБ составят , . Проверим соответствие ориентации ОНБ ориентации ОНБ : , т. е. ориентации совпадают. В этом базисе , − матрица перехода от ОНБ к ОНБ . Связь между координатами в разных базисах выражается соотношениями , . Подставляя эти формулы в линейную часть уравнения кривой, получим