logo

Решение контрольных по математике!!!

Home

Математическая статистика (задачи)

Вариант 5.

Имеются следующие данные об инвестировании предприятия региона собственных средств в основные фонды (выборка 10%-ная, механическая) млрд. руб.:

№ п/п

Размер нераспределенной прибыли

Инвестиции в ОФ

№ п/п

Размер нераспределенной прибыли

Инвестиции в ОФ

1

6,49

0,814

16

13,44

1,716

2

11,52

1,980

17

10,80

1,430

3

15,00

2,112

18

9,12

1,298

4

11,28

1,496

19

5,00

0,352

5

10,56

1,320

20

11,52

1,584

6

10,32

1,342

21

12,48

1,386

7

12,00

1,430

22

5,28

0,528

8

8,16

1,122

23

8,64

0,990

9

5,52

0,770

24

9,84

1,254

10

10,80

1,540

25

7,92

0,990

11

11,28

1,760

26

10,13

1,607

12

12,96

1,628

27

9,00

1,244

13

13,92

2,024

28

9,98

1,470

14

9,36

1,276

29

8,02

1,107

15

10,08

1,254

30

8,58

1,006

Задание 1. Признак – размер нераспределенной прибыли.

По исходным данным:

1) постройте статистический ряд распределения по указанному признаку, образовав пять групп с равными интервалами;

2) графическим методом и путем расчетов определите значения моды и медианы полученного ряда распределения;

3) рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

4) вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните её с аналогичным показателем, рассчитанным в п.3. для интервального ряда распределения. Объясните причину их расхождения.

Решение. 1) Для построения интервального вариационного ряда распределения, характеризующего распределение размера нераспределенной прибыли, необходимо вычислить величину и границы интервального ряда.

При построении ряда с равными интервалами величина интервала H определяется по формуле:

Xmax – максимальное значение признака;

Xmin – минимальное значение признака;

K – число групп интервального ряда.

Число групп K Задается в условии задания или рассчитывается по формуле Стерджесса

K=1+3,322 lg n,

Где N – число единиц совокупности.

Получаем величину интервала при заданных K = 5, xMax = 15 млрд. руб.,

XMin = 5 млрд. руб.:

млрд. руб.

При H = 2 млрд. руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2).

Таблица 2

Границы интервалов ряда распределения

Номер группы

Нижняя граница, млрд. руб.

Верхняя граница, млрд. руб.

1

5

7

2

7

9

3

9

11

4

11

13

5

13

15

Для построения интервального ряда необходимо посчитать количество предприятий, входящих в каждую группу (частота групп).

Процесс группировки совокупности по признаку размер нераспределенной прибыли представлен во вспомогательной табл. 3.

Таблица 3

Разработочная таблица для построения ряда распределения

Группы по размеру нераспределенной прибыли, млрд. руб.

№ п/п

Размер нераспределенной прибыли, млрд. руб.

1

2

3

5 – 7

19

5

22

5,28

9

5,52

1

6,49

Всего

4

22,29

7 – 9

25

7,92

29

8,02

8

8,16

30

8,58

23

8,64

Всего

5

41,32

7 – 9

27

9

18

9,12

14

9,36

24

9,84

28

9,98

15

10,08

26

10,13

6

10,32

5

10,56

10

10,8

17

10,8

Всего

11

109,99

11 – 13

4

11,28

11

11,28

2

11,52

20

11,52

7

12

21

12,48

12

12,96

Всего

7

83,04

13 – 15

16

13,44

13

13,92

3

15

Всего

3

42,36

ИТОГО

30

299

На основе групповых итоговых строк формируется итоговая таблица 4, представляющая интервальный ряд предприятий по размеру нераспределенной прибыли.

Таблица 4

Распределение предприятий по размеру нераспределенной прибыли, млрд. руб.

Номер

Группы

Группы предприятий по размеру нераспределенной прибыли, млрд. руб. Х

Число

Предприятий F

1

5 – 7

4

2

7 – 9

5

3

9 – 11

11

4

11 – 13

7

5

13 – 15

3

Итого

30

Частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты Sj, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (J-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле запишем в таблице5.

Таблица 5

Структура предприятий по размеру нераспределенной прибыли.

№ группы

Группы предприятий по размеру нераспределенной прибыли,

Млрд. руб.

Число Предприятий, Fj

Накопленная

Частота,

Sj

Накопленная

Частоcть, %

В абсолютном выражении

В % к итогу

1

5 – 7

4

13,3

4

13,3

2

7 – 9

5

16,7

9

30,0

3

9 – 11

11

36,7

20

66,7

4

11 – 13

7

23,3

27

90,0

5

13 – 15

3

10,0

30

100,0

Итого

30

100,0

Вывод: Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности предприятий показывает, что распределение предприятий по размеру нераспределенной прибыли не является равномерным: преобладают предприятия с размером нераспределенной прибыли от 9 до 11 млрд. руб. (это 11 предприятий, доля которых составляет 36,7%).

2) Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими центр распределения единиц совокупности по распределяемому признаку.

Мода Мо для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности. В интервальном вариационном ряду модой приближённо считается центральное значение модального интервала.

Для определения моды графическим методом строим по данным табл. 4 гистограмму распределения предприятий по размеру нераспределенной прибыли.

Рис. 1 Определение моды графическим методом

Конкретное значение моды определяется по формуле:

,

Где – начало интервала, содержащего моду;

– величина интервала, содержащего моду;

– частота того интервала, в котором расположена мода;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл. 3 модальным интервалом построенного ряда является интервал 9 – 11 млрд. руб., так как его частота максимальна (F3 = 11).

Получаем:

млрд. руб.

Вывод: для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее часто встречается размер нераспределенной прибыли в 10,2 млрд. руб.

Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Для определения медианы графическим методом строим по данным табл.5 кумуляту распределения предприятий по изучаемому признаку.

Рис. 2 Определение медианы графическим методом.

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

Где – начало интервала, содержащего медиану;

– величина интервала, содержащего медиану;

– сумма всех частот;

– накопленная частота на начало интервала, предшествующего медианному;

– частота того интервала, в котором расположена медиана.

Определяем медианный интервал, используя табл.5. Медианным интервалом является интервал 9 – 11 млрд. руб., т. к. именно в этом интервале накопленная частота Sj = 20 впервые превышает полусумму всех частот равную

.

Имеем:

млрд. руб.

Вывод: в рассматриваемой совокупности предприятий одна половина предприятий имеет размер нераспределенной прибыли не более 10,091 млрд. руб., а другая – более 10,091 млрд. руб.

3) Для расчета средней арифметической, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации на основе таблицы 5 строим вспомогательную таблицу 6 ( – середина J-го интервала).

Таблица 6

Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

Группы предприятий по размеру нераспределенной прибыли,

Млрд. руб.

5 – 7

6

4

24

-4

16

64

7 – 9

8

5

40

-2

4

20

9 – 11

10

11

110

0

0

0

11 – 13

12

7

84

2

4

28

13 – 15

14

3

42

4

16

48

Итого

30

300

160

Расчет средней арифметической взвешенной:

млрд. руб.

Расчет дисперсии:

Расчет среднего квадратического отклонения:

млрд. руб.

Расчет коэффициента вариации:

Вывод: Анализ полученных значений показателей и говорит о том, что средний размер нераспределенной прибыли составляет 10 млрд. руб., отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет в среднем 2,309 млрд. руб. (или 23,09%).

Значение не превышает 33%, следовательно, вариация размера нераспределенной прибыли и совокупность по данному признаку однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно (, ), что свидетельствует в пользу вывода об однородности совокупности. Таким образом, найденное среднее значение размера нераспределенной прибыли – 10 млрд. руб. является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.

4) Вычислим среднюю арифметическую по исходным данным. Для расчета применим формулу средней арифметической простой:

млрд. руб.

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по исходным данным – 9,967 млрд. руб. и по интервальному ряду распределения – 10 млрд. руб., заключается в том, что в первом случае средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти предприятий, а во втором случае в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным.

Вместе с тем, при округлении обеих рассматриваемых величин их значения совпадают (10 млрд. руб.), что говорит о достаточно равномерном распределении предприятий внутри каждой группы интервального ряда.

Задание 2. По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,954 определите:

1) ошибку выборки среднего размера нераспределенной прибыли и границы, в которых он будет находиться нераспределенной прибыли для предприятий генеральной совокупности.

2) ошибку выборки доли предприятий с размером нераспределенной прибыли 9,0 млрд. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Решение. 1) По условию выборочная совокупность насчитывает 30 предприятий, выборка 10%-ная механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 300 предприятий. Выборочная средняя и дисперсия определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 7:

Таблица 7


Р

T

N

N

0,954

2

30

300

10

2,309

Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

млрд. руб.

Рассчитаем предельную ошибку выборки:

млрд. руб.

Определим доверительный интервал для генеральной средней:

Вывод: На основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для генеральной совокупности предприятий средний размер нераспределенной прибыли находится в пределах от 9,2 млрд. руб. до 10,8 млрд. руб.

2) Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой

,

Где M – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

N – общее число единиц в совокупности.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле

Где W – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

(1 – W) – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,

N – число единиц в генеральной совокупности,

N – число единиц в выборочной совокупности.

По условию задания исследуемым свойством предприятий является равенство или превышение размера нераспределенной прибыли уровня в 9,0 млрд. руб.

Число предприятий с данным свойством определяется из табл. 3:

M = 30.

Рассчитаем выборочную долю:

Рассчитаем ошибку выборки для доли:

Рассчитаем предельную ошибку выборки для доли:

млрд. руб.

Определим доверительный интервал генеральной доли:

Или

54,2% ≤ Р ≤ 85,8%.

Вывод: С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в генеральной совокупности предприятий доля предприятий с размером нераспределенной прибыли 9,0 млрд. руб. и более будет находиться в пределах от 54,2% до 85,8%.

 
Яндекс.Метрика
Наверх