Контрольная работа по мат. анализу 03

Задания для контрольной работы №1

1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление

1-10. Найти пределы функций.

3. 1) при a) , b) , c) ;

2) 3) ; 4)

Решение

1) при

A) ,

B) ,

C) ;

2)

3) ;

Использовали и то что при .

4)

11-20. Найти производные заданных функций.

13. а) ; б)

в) г) .

Решение

А)

Б)

В) г)

21-30. Вычислить приближенное значение , заменив в точке приращение функции дифференциалом.

21. 

Решение

Используем формулу:
В данном случае:  , ,

Таким образом

Ответ:

31-40. Исследовать функцию и построить ее график.

33.

Решение

Исследуем функцию, заданную формулой:

Область определения:

Найдём первую производную:

===

==

Первая производная:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

, , , .

Критические точки:

Найдём вторую производную:

Вторая производная это производная от первой производной.

==

===

===

==

Вторая производная:

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

- нет решений

Возможные точки перегиба: нет

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю. , - нет решений.

Точки пересечения с осью : нет

Точки пересечения с осью :

Пусть,

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль,

Вертикальные асимптоты:

Горизонтальные асимптоты: нет.

Для нахождения наклонных асимптот преобразуем исходное выражение. =

Наклонные асимптоты: .

Предел разности исходной функции и функции на бесконечности равен нулю.

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).,

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).,

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Относительные экстремумы:

Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+). Относительный минимум .

Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-). Относительный максимум .

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

41-50. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

43.  А) ; б) ;

Решение

А) ;

- верно

Б) ;

- верно

51-60. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл .

53.

Решение

61-70. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой . Сделать чертеж.

61. 

Решение

Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти:

Найдём абсциссы точек пересечения данных линий, для этого решим систему уравнений:

,

По формуле . В нашем случае ,, , . Получим:

Ответ: (кв. ед)

Задания для контрольной работы № 2

1. Аналитическая геометрия

1-10. Даны вершины треугольника. Найти: 1) длину стороны AB; 2) внутренний угол A; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину C; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину С; 5) площадь треугольника АВС.

3. А (1;2), В (7;4), С (4;5)

Решение

Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi

Здесь X, Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj

Например, для вектора AB X = x2 - x1; Y = y2 - y1 , X = 7-1 = 6; Y = 4-2 = 2

AB(6;2) , AC(3;3), BC(-3;1)

1) длину стороны AB;

Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:

,

2) внутренний угол A;

Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB

Каноническое уравнение прямой: или или y = 1/3x + 5/3 или 3y - x - 5 = 0

Уравнение прямой AC

Каноническое уравнение прямой: или или y = x + 1 или y - x - 1 = 0

Угол φ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y = k1x + b1 и y2 = k2x + b2, вычисляется по формуле:

Угловые коэффициенты данных прямых равны 1/3 и 1. Воспользуемся формулой, причем ее правую часть берем по модулю: , tg φ = 1/2 , φ = arctg(1/2) = 26.570

3) уравнение высоты, проведенной через вершину C;

Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: , , y = -3x + 17 или y +3x -17 = 0

4) уравнение медианы, проведенной через вершину С;

Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

, , M(4;3)

Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(4;5) и М(4;3), поэтому:

Каноническое уравнение прямой:

или или x - 4 = 0 или x = 4

5) площадь треугольника АВС.

Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.

Принимая A за первую вершину, находим:

По формуле получаем:

11-20. Решить систему линейных уравнений матричным способом

11. 

Решение

Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

, Вектор B: BT=(20,-11,9)

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.

Если матрица А - невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим:

А-1*А*Х =А-1*B, А-1*А=Е.

Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.

Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.

Найдем главный определитель.

∆=2•(4•3-2•(-2))-3•(-3•3-2•4)+4•(-3•(-2)-4•4)=43

Итак, определитель 43 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.

Пусть имеем невырожденную матрицу А:

Тогда:

Где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) N-1 порядка, полученный вычеркиванием I-й строки и J-го столбца в определителе матрицы А.

Транспонированная матрица

Вычисляем алгебраические дополнения.

Обратная матрица

Вектор результатов X : X=A-1 • B

,, , ,

XT=(1,-2,3)

X=43 / 43=1

Y=-86 / 43=-2

Z=129 / 43=3

Проверка.

2•1+-3•-2+4•3=20

3•1+4•-2+-2•3=-11

4•1+2•-2+3•3=9

Ответ: x=1, y=-2, z=3

Яндекс.Метрика
© 2011-2022 Контрольные работы по математике и другим предметам!