Контрольная работа по мат. анализу 03
Задания для контрольной работы №1
1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление
3. 1) при a) , b) , c) ;
2) 3) ; 4)
1) при
A) ,
B) ,
C) ;
2)
3) ;
Использовали и то что при .
4)
11-20. Найти производные заданных функций.
13. а) ; б)
в) г) .
А)
Б)
В) г)
21-30. Вычислить приближенное значение , заменив в точке приращение функции дифференциалом.
21.
Решение
Используем формулу:
В данном случае: , ,
Таким образом
Ответ:
31-40. Исследовать функцию и построить ее график.
33.
Решение
Исследуем функцию, заданную формулой:
Область определения:
Найдём первую производную:
===
==
Первая производная:
Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.
, , , .
Критические точки:
Найдём вторую производную:
Вторая производная это производная от первой производной.
==
===
===
==
Вторая производная:
Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.
- нет решений
Возможные точки перегиба: нет
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю. , - нет решений.
Точки пересечения с осью : нет
Точки пересечения с осью :
Пусть,
Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль,
Вертикальные асимптоты:
Горизонтальные асимптоты: нет.
Для нахождения наклонных асимптот преобразуем исходное выражение. =
Наклонные асимптоты: .
Предел разности исходной функции и функции на бесконечности равен нулю.
Точки разрыва:
Симметрия относительно оси ординат: нет
Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).,
Симметрия относительно начала координат: нет
Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).,
Тестовые интервалы:
Результаты исследования функции занесем в таблицу.
Относительные экстремумы:
Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+). Относительный минимум .
Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-). Относительный максимум .
Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.
Используя результаты исследования функции, построим ее график.
41-50. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
43. А) ; б) ;
Решение
А) ;
- верно
Б) ;
- верно
51-60. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл .
53.
Решение
61-70. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой . Сделать чертеж.
61.
Решение
Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти:
Найдём абсциссы точек пересечения данных линий, для этого решим систему уравнений:
,
По формуле . В нашем случае ,, , . Получим:
Ответ: (кв. ед)
Задания для контрольной работы № 2
1. Аналитическая геометрия
1-10. Даны вершины треугольника. Найти: 1) длину стороны AB; 2) внутренний угол A; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину C; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину С; 5) площадь треугольника АВС.
3. А (1;2), В (7;4), С (4;5)
Решение
Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi
Здесь X, Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj
Например, для вектора AB X = x2 - x1; Y = y2 - y1 , X = 7-1 = 6; Y = 4-2 = 2
AB(6;2) , AC(3;3), BC(-3;1)
1) длину стороны AB;
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:
,
2) внутренний угол A;
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой: или или y = 1/3x + 5/3 или 3y - x - 5 = 0
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой: или или y = x + 1 или y - x - 1 = 0
Угол φ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y = k1x + b1 и y2 = k2x + b2, вычисляется по формуле:
Угловые коэффициенты данных прямых равны 1/3 и 1. Воспользуемся формулой, причем ее правую часть берем по модулю: , tg φ = 1/2 , φ = arctg(1/2) = 26.570
3) уравнение высоты, проведенной через вершину C;
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: , , y = -3x + 17 или y +3x -17 = 0
4) уравнение медианы, проведенной через вершину С;
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
, , M(4;3)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(4;5) и М(4;3), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
или или x - 4 = 0 или x = 4
5) площадь треугольника АВС.
Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:
В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.
Принимая A за первую вершину, находим:
По формуле получаем:
11-20. Решить систему линейных уравнений матричным способом
11.
Решение
Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:
, Вектор B: BT=(20,-11,9)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А - невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим:
А-1*А*Х =А-1*B, А-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=2•(4•3-2•(-2))-3•(-3•3-2•4)+4•(-3•(-2)-4•4)=43
Итак, определитель 43 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:
Тогда:
Где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) N-1 порядка, полученный вычеркиванием I-й строки и J-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица
Вычисляем алгебраические дополнения.
Обратная матрица
Вектор результатов X : X=A-1 • B
,, , ,
XT=(1,-2,3)
X=43 / 43=1
Y=-86 / 43=-2
Z=129 / 43=3
Проверка.
2•1+-3•-2+4•3=20
3•1+4•-2+-2•3=-11
4•1+2•-2+3•3=9
Ответ: x=1, y=-2, z=3
< Предыдущая | Следующая > |
---|