Контрольная работа по мат. анализу 28

Контрольная работа № 2 по математике

Вариант 20

Задание № 1. (0-3 балла) Исследовать сходимость рядов:

А) ; б) ; в) .

А) ;

Исследуем сходимость этого ряда с помощью признака сравнения в предельной форме. Сравним данный ряд с рядом , который сходится (р=2>1). Найдем предел отношения общих членов этих рядов при .

Так как предел получился конечный, не равный нулю, то ряды ведут себя одинаково, следовательно, данный ряд также сходится.

Б) ;

Исследуем ряд На абсолютную сходимость. Рассмотри ряд из модулей:

Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь

Вычислим

Полученное значение меньше 1, следовательно, ряд сходится абсолютно.

В) .

Найдём интервал сходимости ряда ,

Тогда или , .

Ряд сходится на интервале Абсолютно.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x=3 получим ряд , данный ряд является знакоположительным, так как

Ряд расходится как гармонический, следовательно, ряд так же расходится.

При х=-1 получим ряд – данный ряд сходится условно по признаку Лейбница ()

Имеем интервал абсолютной сходимости ряда: , сходится условно при х=-1

Задание № 2. (0-1 балла) Функцию разложить в ряд Тейлора в окрестности точки . Найти область сходимости полученного ряда:

, .

Решение

Используем стандартные разложения:

, тогда

Найдём интервал сходимости ряда ,

Ряд сходится на интервале .

Задание № 3. (0-1 балла) Проверить, удовлетворяет ли функция указанному уравнению:

, .

Решение

Найдём частные производные:

Тогда - верно

Ответ: удовлетворяет

Задание № 4. (0-2 балла) Исследовать на экстремум функцию:

Решение

1. Найдем частные производные.

2. Решим систему уравнений.

-6•x+6 = 0

-6•y-6 = 0

Получим:

X = 1

Y = -1

Количество критических точек равно 1.

M1(1;-1)

2. Найдем частные производные второго порядка.

4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).

Вычисляем значения для точки M1(1;-1)

AC - B2 = 36 > 0 и A < 0 , то в точке M1(1;-1) имеется максимум z(1;-1) = 6

Ответ: В точке M1(1;-1) имеется максимум z(1;-1) = 6;

Задание № 5. (0-4 баллов) Найти общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

А) ; б) ; в) ;

Г) .

Решение

А) ;

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: или

Б) ;

Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид позволяет сделать замену и свести к уравнению с разделяющимися переменными, получаем

Уравнение примет вид ,

Разделяем переменные и интегрируем: . Посчитаем отдельно:

Тогда .

Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения – решение, записанное в неявном виде: .

В) ;

Приведём данное уравнение к виду: - это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где U и V две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве V одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию V во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию И:

Возвращаясь к функции У, получим

Г)

Данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Оно имеет вид .

Проверим выполнение условия:

-условие выполняется.

Поэтому - дифференциал некоторой функции . Следовательно данное уравнение может быть записано в виде

При этом , .

Интегрируем первое равенство по х, получим , где - неизвестная функция, которую ещё предстоит найти.

Дифференцируем U по у, имеем .

Тогда используя то, что , получим или , тогда , и, следовательно,

Ответ: а) , б) , в)

Г)

Задание № 6. (0-2 балла) Найти решение обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям:

, , .

Решение

Решим соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение

Так как его корни действительные (), общее решение однородного уравнения имеет вид .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда

Подставим в исходное

Приравнивая коэффициенты при косинусе и синусе в левой и правой части получим систему:

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Используем начальные условия:, .

Тогда:

Окончательно,

Ответ:

Задание № 7. (0-1 балла) Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

Решение

Метод исключения неизвестных

Продифференцируем по t первое уравнение

Исключая с помощью второго уравнения и с помощью первого уравнения системы, получим

Таким образом, задача свелась к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение. Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .