Финансовая математика 02
N = 19
1. 15 мая открыт сберегательный счет в сумму (400+10n) руб. под процентную ставку 8% годовых, 12 июля на счет было дополнительно внесено 200 руб.; 12 сентября со счета была снята сумма 100 руб., а 18 ноября счет был закрыт. Определить общую сумму, полученную вкладчиков при закрытии счета. Использовать английскую практику начисления процентов. Год – невисокосный.
Дано: | |
Т1 = 15.05 P = 400+1019 = 590 руб. I = 8% = 0,08 T2 = 12.07 P2 = 200 руб. Т3 = 12.09 P3 = 100 руб. Т4 = 18.11 K = 365 |
Для решения задачи воспользуемся следующей формулой: S = P, Где S – наращенная сумма; Р – первоначальная сумма; I – простая процентная ставка; T – срок начисления процентов в днях; К – количество дней в году. 15.05 - 135 день в году; 12.07 - 193 день в году; 12.09. – 255 день в году; 18.11 - 322 день в году. S1 = 590 597,5 руб. S2 = 597,5+200 808,34 руб. 808,34 – 100 = 708,34 руб. S3 = 708,34 718,74 руб. |
Ответ: при закрытии счета вкладчик получит 718,74 руб.
2. Долговое обязательство в сумме (2000+100n) руб., должно быть погашено через 90 дней с процентами (10 % годовых). Владелец обязательства учел его в банке за 15 дней до наступления срока по учетной ставке 12%. Найти сумму, полученную после учета векселя.
Дано: | |
Р1 =2000+10019 = 3900 руб. T1 = 90 дней I = 10% = 0,1 T2 = 15 дней D = 12% = 0,12 K = 360 дней |
Сначала рассчитаем наращенную сумму долгового обязательства, используя следующую формулу: S = P, Где S – наращенная сумма; Р – первоначальная сумма; I – простая процентная ставка; T – срок начисления процентов в днях; К – количество дней в году. S = 39003997,5 руб. Теперь можем рассчитать сумму, полученную после учета векселя, используя следующую формулу: P = S, Где d - простая учетная ставка P = 3997,53977,51 руб. |
P2 - ? |
Ответ: сумма, полученная после учета векселя, равна 3977,51 руб.
3. Клиент внес в банк (2000+100n) руб. под 9 % годовых. Через два года и 270 дней он изъял вклад. Определить полученную им сумму при использовании банком сложных процентов и смешенного метода.
Дано: |
Решение: |
P=2000+10019 = 3900 руб. I = 9% = 0,09 N = 2 года 270 дней К = 360 дней |
Если использовались сложные проценты, наращенную сумму определим помощью следующей формулы: S = P, Где S – наращенная сумма; Р – первоначальная сумма; I – простая процентная ставка; N – срок начисления процентов. S = 390039004942,96 руб. По смешенному методу: S = P, Где a – целое число лет; B - дробное число лет. S = 3900 4946,36 руб. |
S - ? |
Ответ: полученная клиентом сумма равна при использовании банком сложных процентов – 4942,96 руб., смешанного метода – 4946,36 руб.
4. Определить эффективную ставку сложных процентов, чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной ставки j%, при ежеквартальном начислении процентов (m=4; j = (5+n)%).
Дано: |
Решение: |
J = 5+19 = 24% = 0,24 M = 4 |
Эффективная процентная ставка определяется по следующей формуле: Iэф = , Где j – номинальная ставка; M – период начисления процентов. Iэф = 0,2625 или 26,25% |
Iэф - ? |
Ответ: эффективная ставка сложных процентов равна 26,25%
6. Кредит в (2000+100n) руб. выдан на два года. Реальная доходность должна составлять 6% годовых (сложные проценты). Расчетный уровень инфляции – 16% в год. Определить ставку процентов при выдаче кредита, а также наращенную сумму.
Дано: |
Решение: |
Р = 2000+10019 = 3900 руб. N = 2 года I = 6% = 0,06 = 16% = 0,16 |
Брутто-ставка по сложной процентной ставке определяется по следующей формуле: R = i + +i, Где i – реальная доходность; - годовой темп инфляции R = 0,06 + 0,16 + 0,060,16 = 0,2296 или 22,96% Наращенную сумму определим по формуле: S = P, Где S – наращенная сумма; Р – первоначальная сумма; I – простая процентная ставка; N – срок начисления процентов. S = 39005896,47 руб. |
R-?; S - ? |
Ответ: ставка процентов при выдаче кредита равна 22,96%, наращенная сумма – 5896,47 руб.
7. Объединяются три ренты со сроками 7,4,9 лет; члены ренты равны между собой – R = 2000+100n руб.; процентные ставки так же равны - i = 0,08. Член консолидированной ренты установлен в размере 3R руб.; процентная ставка сохраняется. Определить срок новой ренты.
Дано: |
Решение: |
N1 = 7 лет N2 = 4 года N3 = 9 лет R1 = R2 = R3 = 2000+10019 = 3900 руб. I = 0,08 R0 = 3R = 33900 = 11700 руб. |
Срок консолидированной ренты определим по следующей формуле: , Где - современная стоимость k-й заменяемой ренты. А1 = 390020305 руб. А2 = 390012917 руб. А3 = 390024363 руб. Ак = 20305 + 12917 + 24363 = 57585 руб. 6,25 лет |
N0 - ? |
Ответ: срок новой ренты равен 6,25 лет
8. На модернизацию предприятия получен долгосрочный кредит сроком на 10 лет, погашение которого будет производиться на следующих условиях: в первые пять лет платежи в размере (2000+100n) руб. вносятся каждые полгода под 8% годовых. Следующие три года платежи в размере (4000+100n) руб. вносятся также по полугодиям под 10% годовых. Последние два года платежи в размере (6000+100n) руб. вносятся ежеквартально под 10% годовых. В течение всего срока ренты проценты начисляются раз в году. Определить наращенную сумму и величину кредита.
Дано: |
Решение: |
N = 10 лет N1 = 5 лет R1 = 2000+10019 = 3900 руб. P1 = 2 I1 = 8% = 0,08 N2 = 3 года R2 = 4000+10019 = 5900 руб. P2 = 2 I2 = 10% = 0,1 N3 = 2 года R3 = 6000+10019 = 7900 руб. P3 = 4 I3 = 10% = 0,1 |
Наращенная сумма ренты определяется по следующей формуле: S = R, Где S – наращенная сумма; R – размер платежа; I – процентная ставка; N – срок кредита; P – количество платежей в год. S1 = 3900 46900 руб. S2 = 5900 39855 руб. S3 = 7900 69125 руб. Sобщ = 46900+39855+69125 = 155880 руб. Величину кредита определим как современную стоимость каждого потока платежа А1 = 3900 31942 руб. А2 = 5900 29944 руб. А3 = 7900 57128 руб. А = 31942 + 29944 + 57128 = 119014 руб. |
S - ?; P - ? |
Ответ: наращенная сумма равна 155880 руб., величина кредита – 119014 руб.
9. Предоставлен потребительский кредит в размере (1000+100n) руб. на срок шесть месяцев под 12% годовых с ежемесячными погашением. Составить план погашения кредита. Воспользоваться «правилом 78». Сравните с графиком равномерных выплат процентов.
Дано: |
Решение: |
P = 1000+10019 = 2900 руб. N = 6 месяцев = 0,5 года I = 12% = 0,12 M = 12 |
Наращенная сумма долга в конце периода составит: S =P(1+in) S = 2900(1+0,50,12) = 3074 руб. Сумма начисленных процентов: I = 29000,50,12 = 174 руб. Ежемесячные выплаты: Q = 512 руб. Найдем сумму порядковых номеров месяцев: 1+2+3+4+5+6 = 21 Из первого платежа в счет уплаты процентов идет Общей суммы начисленных процентов: 50руб. Сумма, идущая на погашение долга: 512 – 50 = 462 руб. Составим план погашения. |
Доля погашаемых процентов |
Сумма погашения процентных платежей, руб. |
Сумма погашения основного долга, руб. |
Остаток основного долга на начало месяца, руб. |
6/21 |
50 |
462 |
2438 |
5/21 |
41 |
471 |
1967 |
4/21 |
33 |
479 |
1488 |
3/21 |
25 |
487 |
1001 |
2/21 |
17 |
495 |
506 |
1/21 |
6 |
506 |
- |
Итого |
174 |
2900 |
- |
График погашения ссуды с погашением основного долга в конце срока и равномерной выплатой процентов (все данные в тыс. руб.)
Месяц |
Сумма погашения процентных платежей, руб. |
Сумма погашения основного долга, руб. |
Остаток основного долга на начало месяца, руб. |
Всего выплаты в банк |
1 |
29 |
0 |
2900 |
29 |
2 |
29 |
0 |
2900 |
29 |
3 |
29 |
0 |
2900 |
29 |
4 |
29 |
0 |
2900 |
29 |
5 |
29 |
0 |
2900 |
29 |
6 |
29 |
2900 |
2900 |
2929 |
Итого |
174 |
2900 |
0 |
3074 |
10. Получен кредит в сумме 10000n руб. сроком на семь лет. Процентная ставка изменяется по годам в следующем порядке:
Годы |
1-2 |
3-4 |
5-7 |
Ставка,% |
6 |
10 |
12 |
Составьте план погашения кредита.
Решение:
1-й год
34035,65 руб.
34035,65 - 1900000,06 = 22635,65 руб.
2-й год
D2 = 190000 – 22635,65 = 167364,35 руб.
34035,65 руб.
34035,65 – 167364,350,06 = 23993,79 руб.
3-й год
D3 = 167364,35 – 23993,79 = 143370,56 руб.
37820,79 руб.
37820,79 – 143370,560,1 = 23483,73 руб.
4-й год
D4 = 143370,56 – 23483,73 = 119886,83 руб.
37820,79 руб.
37820,79 – 119886,830,1 = 25832,11руб.
5-й год
D5 = 119886,83 - 25832,11 = 94054,72 руб.
39159,59 руб.
39159,59 – 94054,720,12 =39159,59-11286,57 = 27873,02 руб.
6-й год
D6 = 94054,72 - 27873,02 = 66181,7 руб.
39159,59 руб.
39159,59 – 66181,70,12 =39159,59-7941,8 = 31217,79руб.
7-й год
D7 = 66181,7 – 31217,79 = 34963,91 руб.
39159,59 руб.
39159,59 – 34963,910,12 =39159,59- 4195,67 = 34963,92 руб.
Составим план погашения:
Годы |
Процентная ставка, % |
Сумма долга на начало года, D |
Сумма процентных денег, I |
Сумма погашения основного долга, R |
Годовая срочная уплата Y |
1 |
6 |
190000 |
11400 |
22635,65 |
34035,65 |
2 |
6 |
167364,35 |
10041,86 |
23993,79 |
34035,65 |
3 |
10 |
143370,56 |
14337,06 |
23483,73 |
37820,79 |
4 |
10 |
119886,83 |
11988,68 |
25832,11 |
37820,79 |
5 |
16 |
94054,72 |
11286,57 |
27873,02 |
39159,59 |
6 |
16 |
66181,7 |
7941,8 |
31217,79 |
39159,59 |
7 |
16 |
34963,91 |
4195,67 |
34963,92 |
39159,59 |
Итого |
- |
- |
71191,64 |
190000 |
261191,64 |
11. Ипотечный кредит выдан на 20 лет, размер кредита – (200000+1000n) руб., ставка – 6% годовых. Погашение будет происходить ежемесячно равными срочными уплатами по 1000 руб. Рассчитайте размер «шарового платежа».
Дано: |
Решение: |
N = 20 лет D = 200000+1000 19 = 219000 руб. I = 6% = 0,06 P = 12 R = 1000 руб. |
Размер шарового платежа В найдем по следующей формуле: В = Так как ха год будет выплачено 12000 руб. В = 25368,73 руб. |
B - ? |
Ответ: размер «шарового платежа» равен 25368,73 руб.
12. Сумма ипотечного долга – 10000019 = 190000 руб. Срок погашения 20 лет (240 месяцев) разбит на два период продолжительностью: 1-й период m=60 месяцев; 2-й период n = 180 месяцев. Процентная ставка – 6% годовых (проценты сложные). Погашение кредита производится ежемесячно. По условиям контракта ежегодный прирост срочных уплат 5% в первом периоде. Во втором периоде погашение производится равными срочными уплатами. Составьте план погашения кредита, используя стандартную программу Excel.
Решение:
Параметры контракта:
D = 190 тыс. руб., N = 240 месяцев; m = 60 месяцев
N = 180 месяцев; i = 0,06.
0,005 (месячная вставка);
V = 0,995
Tемп роста ежемесячных расходов g = 1,051,0041.
Y1 =
= 190: (59,7+111,52)=1,11 тыс. руб.
Ежемесячные расходы в первом периоде:
Yt = Y1GИли Yt = 1,111,0041
Месячный расход в конце первого периода;
Y60 = 1,111,00411,41 тыс. руб.
По условиям кредита эта же сумма выплачивается ежемесячно во втором периоде. Остаток задолженности в любом месяце второго периода рассчитываем по следующей формуле:
,
Где Dk – остаток задолженности в месяце k;
N – число месяцев во втором периоде;
K – номер месяца во тором периоде: k = 1,2,3 (n-1);
D – остаток задолженности в первом месяце второго периода.
Составим план погашения долга
Месяц |
Остаток долга на начало месяца D |
Процентные платежи, I |
Сумма погашения основного долга R |
Ежемесячные срочные уплаты Y = I+R |
1 |
190,00000 |
0,95000 |
0,16000 |
1,11000 |
2 |
189,84000 |
0,94920 |
0,16535 |
1,11455 |
3 |
189,67465 |
0,94837 |
0,17075 |
1,11912 |
30 |
183,01412 |
0,91507 |
0,33477 |
1,24984 |
31 |
182,67935 |
0,91340 |
0,34157 |
1,25497 |
32 |
182,33778 |
0,91169 |
0,34842 |
1,26011 |
33 |
181,98936 |
0,90995 |
0,35533 |
1,26528 |
57 |
171,42173 |
0,85711 |
0,53872 |
1,39583 |
58 |
170,88301 |
0,85442 |
0,54714 |
1,40155 |
59 |
170,33587 |
0,85168 |
0,55562 |
1,40730 |
60 |
169,78025 |
0,84890 |
0,56417 |
1,41307 |
61 |
169,21608 |
0,84608 |
0,56699 |
1,41307 |
239 |
2,805 |
0,01407 |
1,399 |
1,41307 |
240 |
1,406 |
0,00707 |
1,406 |
1,41307 |
13. Размер ипотечного кредита D = (100000+1000n) руб. Срок ипотеки – 10 лет Заемщик открывает специальный счет на сумму D/10 руб., на который начисляются ежемесячно проценты по ставке 12 % годовых. Списание средств со счета идет ежемесячно в течение двух лет, сумма списаний ежемесячно уменьшается на 2 %. Ставка за кредит – 6% годовых. Разработайте график помесячного погашения задолженности, используя программу Excel.
Решение:
Размер ежемесячных взносов, которые получает кредитор:
R = 1,32114 тыс. руб.
Первая сумма списания со счета:
0,69314 тыс. руб.
Сумма списания со счета через t-месяцев:
Таким образом, суммы списания составят, тыс. руб.
Месяц |
1-й |
2-й |
24-й |
25-й |
120-й | ||
Списания со счета, V |
0,69314 |
0,6793 |
… |
0,4355 |
0 |
… |
0 |
Взносы должника, R |
0,628 |
0,64184 |
… |
0,88564 |
1,32114 |
… |
1,32114 |
Размер ежемесячных взносов, которые получает кредитор, R |
1,32114 |
1,32114 |
… |
1,32114 |
1,32114 |
… |
1,32114 |
14. Рассматриваются предложения двух фирм по строительству промышленного объекта:
Условия фирмы А |
Условия фирмы Б | |
Цена нового объекта, руб. |
500000+1000019 = 690000 |
550000+1000019 =740000 |
Срок строительства, лет |
1 |
1 |
Авансовые платежи (вносятся при подписании контракта), руб. |
200000+1000019 =390000 |
100000+1000019 =290000 |
Срок кредита, лет |
8 |
7 |
Льготный период, лет |
2 |
3 |
Ставка процентов, % |
10 |
11 |
Кредит погашается равными годовыми выплатами. Ставка сравнения – q = 12%. Найти современные величины всех платежей по фирме А и Б.
Решение:
Найдем современную стоимость всех платежей по фирме А. Рентные платежи выплачиваются в течение 6 лет. Тогда:
Найдем современную величину всех платежей по фирме В. Срок аннуитета равен 7 – 3 = 4 года. Тогда:
Таким образом, из расчетов видно, что современная величина всех платежей по фирме А равна 639847 руб., а современная величина всех платежей фирмы В – 728014 руб. Преимущество фирмы А при принятой для сравнения процентной ставке 12% очевидно.
15. Оцените облигацию номиналом в (100+10n) руб. купонной ставкой 16%, выпущенной сроком на восемь лет, в начале жизни, в середине, за один год до погашения при значениях среднерыночной ставки 12 и 18%. Результаты обоснуйте. СТР. 82
Дано: |
Решение: |
N = 100+1019 = 290 руб. С = 16% = 0,16 N = 8 лет R1 = 12% = 0,12 R2 = 18% = 0,18 |
Оценим облигацию в начале жизни, используя следующую формулу: P = , Где С – размер купона; N – номинал облигации; R – процентная ставка; N – срок до погашения облигации P1 = = 46,44,968 + 2900,4039 = 230,5+117,1=347,6 руб. P2 = = 46,44,078 + 2900,266 =189,22+77,14 = 266,36 руб. В середине жизни рыночная цена облигации: P1 = = 140,9+184,3= 325,2 руб. P2 = =124,8+149,6 = 274,4 руб. За один год до погашения: P1 = = 41,4 +258,9= 300,3руб. P2 = =39,3+245,8= 285,1 руб. |
P -? |
Ответ: если купонная ставка меньше среднерыночной ставки, то рыночная цена облигации будет выше номинала, она будет продаваться с премией. При приближении даты выкупа стоимость облигации понижается. Обусловлено это тем, что по ней уже выплачена большая часть доходов, и к моменту выкупа остается получить только ее номинальную стоимость. Если купонная ставка больше среднерыночной, то рыночная цена облигации будет ниже номинала, в этом случае говорят, что облигация продается с дисконтом. С приближением даты выкупа происходит погашение дисконта. К концу срока погашения оценка облигации стремится к номиналу.
16. Купонную облигацию, срок жизни которой пять лет, с купоном в 10% и номиналом (1000+100n) руб. приобрели по цене (900+100n) руб. Найдите доходность к погашению.
Дано: |
Решение: |
Q = 10% = 0,1 N = 1000+10019 = 2900 руб P =900+10019 =2800 руб. N = 5 лет |
Доходность облигации определим с помощью следующей формулы: Где i – доходность к погашению; Q - купонная ставка; N – номинал облигации Р – рыночная стоимость N – срок до погашения облигации 0,1088 или 10,88% |
I - ? |
Ответ: доходность к погашению равна 10,88%
17. 10% - ю купонную облигацию номиналом в N = (100+10n) руб. приобрели за 10 руб. Облигация имеет фонд погашения со следующим расписанием: 20% эмиссии после первого года, 30% - после второго года и оставшуюся часть эмиссии – после трех лет. Определите доходность к эквивалентной жизни.
Решение:
Средняя жизнь облигации составит:
AL = 0,21 + 0,32 + 0,53 = 2,3 года
Рассчитаем доходность данной облигации. Заполним таблицу:
Год |
Купонная выплата, руб. |
Общий денежный поток у инвесторов, руб. |
1 |
29 |
29+20=49 |
2 |
29-(290.3) = 20,3 |
20,3+30=50,3 |
3 |
29-(290,5)=14,5 |
14,5+50=64,5 |
Рыночная цена облигации – 10 руб. Определим доходность, продисконтировав денежный поток у инвесторов на момент выпуска облигации:
10 =
Решением этого уравнения является ставка 493 %
18. Оцените акцию, которая за первый год принесет (100+10n) руб. дивидендов, а темп прироста дивидендов составит 5% в год. Минимальная приемлемая ставка – 10%.
Дано: |
Решение: |
Div = 100+1019 = 290 руб. G = 5% = 0,05 R = 10% = 0,1 |
Курсовая стоимость акции определяется по следующей формуле: P = , Где Div – размер дивидендов; G - темп прироста; R – ставка дисконтирования P = 6090 руб. |
P - ? |
Ответ: курсовая стоимость акции 6090 руб.
19. Оцените доходность портфеля, состоящего из пяти видов ценных бумаг. Здесь q = (5+n/2)%.
Номер ценной бумаги |
Объем, занимаемый в портфеле, % |
Ожидаемая ставка доходности, % |
1 |
15 |
Q = 14,5 |
2 |
25 |
Q+4 = 18,5 |
3 |
10 |
Q+6 = 20,5 |
4 |
30 |
Q+2 = 16,5 |
5 |
20 |
Q-2 = 12,5 |
Решение:
Под ожидаемой доходностью портфеля понимается средневзвешенное значение ожидаемых значений доходности ценных бумаг, входящих в портфель. При этом «вес» каждой ценной бумаги определяется относительным количеством денег, направленных инвестором на покупку этой ценной бумаги. Ожидаемая доходность инвестиционного портфеля равна:
R портфеля, % = R1 × W1 + R2 × W2 + ... + Rn × Wn ,
Где Rn - ожидаемая доходность i-й акции;
Wn - удельный вес i-й акции в портфеле.
Q = (5 + 19/2) = 14,5%
R портфеля, % = 0,145×0,15 +0,185 ×0,25 + 0,205×0,1+0,165×0,3+0,125×0,2 =
= 0,02175+0,04625+0,0205+0,0495+0,025 = 0,163 или 16,3%
Ответ: доходность портфеля равна 16,3%
20. Рассчитать единовременные нетто-ставки в связи: 1) с дожитием; 2) на случай смерти для мужчины в возрасте (30+n) лет сроком на 5 лет. Используя коэффициент рассрочки, рассчитать годичные нетто-ставки в связи: 1) с дожитием; 2) на случай смерти.
Решение:
По таблицам смертности находим
80569 74609
Cогласно таблице смертности до возра
Ста 54 лет доживет 74609 из 80569 человек. Следовательно, и число выплат будет 74609. Единовременная нетто-ставка равна:
0,6019 или 60,19%
На случай смерти определим по следующей формуле:
0,05695 или 5,7%
Формулы годичных ставок (взнос уплачивается в начале срока страхования) для лица в возрасте 40 Лет при сроке страхования 6 лет:
А) на дожитие
Формулы расчета коэффициентов рассрочки: пренумерандо 4,13215
Тогда годичная нетто-ставка в связи с дожитием равна:
0,1457 или 14,57%
Б) на случай смерти
0,0138 или 1,38%
Ответ: единовременная нетто-ставка в связи с дожитием равна 60,19%, на случай смерти – 5,7%; годичные нетто ставки равны с дожитием – 14,57%, на случай смерти – 1,38%
< Предыдущая | Следующая > |
---|