Контрольная работа по мат. анализу 17

1. Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений.

1-10. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1. а) , б) .

Решение

А) Заменим на и У на . Получим

, сократим на : .

Следовательно, данное дифференциальное уравнение однородное первого порядка. Преобразуем уравнение: . Сделаем замену ,.

Тогда уравнение примет вид .

Сокращая дроби, получим .

Проведем некоторые преобразования: , слагаемые левой части приведем к общему знаменателю . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, поучим .

Интегрируем: , , , . Приняв во внимание, что , из последней формулы получаем общий интеграл уравнения ,

Б) .

Данное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, которое не содержит . Понизим порядок этого уравнения на 1, положив . Тогда , и исходное уравнение превращается в дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно искомой функции и переменной : .

Разделив переменные, поучим .

Интегрируем: , , , .

Так как , то последнее уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка , которое решается однократным интегрированием: .

Получили общее решение исходного уравнения .

11-12. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

11. , , .

Решение

Соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение имеет вид .

Характеристическое уравнение: имеет действительные различные корни: , .

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения .

По виду функции , стоящей в правой части уравнения можно подобрать частное решение. Ей соответствует: .

Находим производные : , . Подставляем эти выражения в исходное уравнение и вычисляем коэффициенты , :

, ,

;

Следовательно, частное решение имеет вид .

Так как общее решение неоднородного уравнения имеет вид , то .

Используя начальные условия:, , определяем и :

, , ;

, , , .

Следовательно, искомое частное решение будет .

2. Ряды

21-30. Найти область сходимости степенного ряда .

21.

Решение

По условию , .

Используя признак Даламбера для ряда из абсолютных величин, вычисляем предел

Определяем, при каких значениях X этот предел будет меньше 1, т. е. решаем неравенство < 1, | Х | < , – < X < .

По признаку Даламбера при любом значении X из найденного интервала данный ряд сходится, а при | Х | > расходится.

В граничных точках Х = ± этого интервала, для которых признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда. Исследуем степенной ряд на сходимость в граничных точках.

При х= получим числовой ряд который расходится, что следует из сравнения его с расходящимся рядом Дирихле ; .

При х=- получим числовой знакочередующийся ряд , который сходится по признаку Лейбница: 1) члены этого ряда убывают по абсолютному значению для всех n > 1, т. к. ; 2) предел общего члена ряда равен нулю ().

Следовательно, интервалом сходимости данного ряда является , и радиус сходимости .

31-40. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

31.

Решение

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена

Тогда и

Имеем

Получен знакочередующийся ряд Лейбница, слагаемое меньше чем 0.001. Отбрасывая это слагаемое, получим приближённое значение интеграла с заданной точностью

41-50. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными уравнениями в декартовых координатах, перейдя к полярным координатам, предварительно записывая формулу площади через двукратный интеграл в декартовых координатах с расстановкой пределов .

41. , ,

Решение

Искомую площадь удобно искать в полярных координатах. Известна связь декартовых координат с полярными:

, , .

Площадь плоской области находят по формуле: , или перейдя к полярным координатам: .

Запишем уравнения данных окружностей в полярных координатах. Имеем , или , что в полярных координатах имеет вид: , или . Аналогично полярное уравнение второй окружности примет вид: . Построим фигуру, ограниченную заданными кривыми:

Из рисунка видно, что полярный угол области изменяется от до , т. е. . Если из полюса 0 через область провести полярный радиус, то точка входа в область будет на окружности , а точка выхода из области на окружности , поэтому .

Таким образом, площадь области равна:

Т. к. .

Ответ:

51-60. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость XOY.

51. , , , , ,

Решение

Чертеж данного тела: , – плоскости; – параболоид вращения, симметричный относительно оси ; , , – координатные плоскости. Пересекаясь, все эти поверхности образуют тело, объем которого необходимо вычислить: .

В данном случае тело проектируется на плоскость ХОУ в квадрат со стороной 4, следовательно, область интегрирования

Для вычисления тройного интеграла необходимо представить его в виде повторного.

Ответ:

61-70. Даны векторное поле и плоскость , которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду . Требуется вычислить:

1)циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру , являющемуся треугольником, ограничивающим плоскость , непосредственно и по формуле Стокса;

2)поток векторного поля через плоскость в сторону внешней нормали к ней;

3)поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали к ее поверхности, применив теорему Остроградского. Сделать чертеж.

61. ;