59. Равномерная непрерывность ограниченного семейства аналитических функций

Опр: Пусть - некоторое множество и - некоторое семейство функций, заданных на . называется Равностепенно непрерывным в , если:

.

Теорема: Пусть - равномерно ограниченное семейство аналитических в области. Тогда равностепенно непрерывно на любом компакте из .

Доказательство: Равномерная ограниченность означает, что . Пусть - компакт и в силу того, что - область. Пусть и , . Пусть и , . Так как , то . В этом круге удовлетворяет условиям обобщенной леммы Шварца, так как - аналитична., и , следовательно по лемме Шварца: . Отсюда, так как , то для . Теорема доказана.

Яндекс.Метрика