58. Конформные автоморфизмы круга

Теорема: Любое конформное отображение единичного круга на себя есть ДЛО.

Доказательство: Пусть , тогда пусть есть отображение круга на себя такое, что . Рассмотрим композицию , которая является конформным отображением и . Заметим, что и и удовлетворяют условиям леммы Шварца. Пусть , в силу леммы Шварца: . Пусть , тогда по лемме Шварца для обратной функции: . Из этих неравенств получаем: И выполняются условия второго пункта леммы Шварца и по лемме Шварца . В итоге получаем, что является композицией ДЛО и ЛО . Теорема доказана.

Следствие: Пусть и - конформные отображения жордановой области на , тогда существует ДЛО , такое что .

Доказательство: и по теореме есть ДЛО, тогда и есть ДЛО. Следствие доказано.

Яндекс.Метрика