60. Принцип компактности

Теорема Арцелла-Асколи (из мат. анализа): Пусть семейство комплекснозначных функций равномерно ограничено и равностепенно непрерывно на компакте , тогда из любой бесконечной последовательности можно выделить подпоследовательность , равномерно сходящуюся на компакте .

Теорема (принцип компактности): Пусть - семейство аналитических функций в области . Если равномерно ограничено в , то из любой можно выделить , равномерно сходящуюся на любом компакте к некоторой аналитической функции .

Доказательство: Построим - последовательность расширяющихся компактов. Тогда легко видеть, что , так как . Пусть - некоторая последовательность функций. Рассмотрим ее на . По теореме из параграфа 60 является равностепенно непрерывным на - равномерно непрерывны на по теореме Арцелла-Асколи равномерно на . Аналогично равномерно на , где в силу того, что . И так далее: равномерно на . Тогда, применив диагональный метод Кантора, получим, что для равномерно на любом компакте в силу того, что и того факта, что , откуда . Тогда . Теорема доказана.

Яндекс.Метрика