56. Разложение функций и

периодическая с периодом , особые точки (полюсы 2 порядка).

Утв: выполняется равенство .

Доказательство: Главная часть лорановского разложения в точке : , , - главная часть. (или т. к. - четная). Отсюда главная часть в равна , в равна . Рассмотрим ряд . Пусть , построим круг . , , отсюда: , тогда . Ряд сходится, - сходится равномерно на любом компакте в и функция аналитична, периодична с периодом и имеет особые точки и в окрестности она имеет вид: . Рассмотрим . Для нее точки являются устранимыми, она аналитична и периодична с периодом на всей . Рассмотрим в полосе и найдем . Пусть (см. рисунок). Покажем, что и . Отсюда будет следовать, что и в силу периодичности будет ограниченной на и по теореме Лиувилля .

1) , . Если расписать это через , то легко показать, что . Отсюда .

2) , зададим . Ряд сходится равномерно, так как он мажорирует во всей полосе с . Поэтому , т. ч: и , откуда следует, что . В силу произвольности . Это значит в силу вышеприведенных рассуждений, что и . Утверждение доказано.

Далее:

. , где легко заметить, что . И получаем . Полученные разложения имеют место на всей комплексной плоскости .

Яндекс.Метрика