57. Лемма Шварца

Лемма: Пусть и - аналитичная в такая, что и . Тогда и при этом, если или , то .

Доказательство: Возьмем и рассмотрим функцию . и аналитична в . Рассмотрим окружность , где по принципу максимума модуля , в силу того, что сколь угодно близок к единице: и , где - любая точка из . И в силу этого . Рассмотрим случай: , тогда и в силу принципа максимума модуля, так как достигает максимума во внутренней точке . Лемма доказана.

Обобщенная лемма Шварца: Пусть - аналитическая и ограниченная в такая, что и , тогда

1) и

2) Верно

3) Верно

Доказательство: Пусть ,. Ясно, что и для . Следовательно, по лемме Шварца . Тогда (1): так как и . (2,3): По теореме Шварца если выполняется условие из (2) или (3), то . Лемма доказана..

Яндекс.Метрика