55. Мероморфные функции

Опр: Пусть - область в . Функция , имеющая в только изолированные ОТ, являющиеся полюсами, называется мероморфной.

Замечание: На любом компакте количество полюсов функции конечно в силу их изолированности.

Утв: Мероморфная функция, имеющая на конечное число полюсов является дробно-рациональной.

Доказательство: Рассмотрим ряд Лорана в точке : , и пусть . Аналогично, в точке : и . Рассмотрим теперь функцию . По построению легко видеть, что аналитична на и , а значит ограничена на всей и по теореме Лиувилля следует, что . Тогда , что и требовалось. Утверждение доказано.

Пример мероморфной функции с бесконечным числом полюсов на : . Особые точки , полюсы второго порядка.

Яндекс.Метрика