21. Понятие первообразной

Пусть непрерывна в области .

Опр: Аналитичная в функция называется Первообразной для , если .

Опр: Пусть и непрерывны в . - дифференциальная форма. Функция в называется Первообразной для дифференциальной формы , если выполняется: . И если эта первообразная существует, то верна формула: (аналог формулы Ньютона-Лейбница).

Теорема о существовании первообразной: Если дифференциальные формы и имеют в первообразные и соответственно, то функция также имеет первообразную .

Доказательство: Пусть в из этих равенств и определения и следует следующее: ; Это означает, что функции и Непрерывно-дифференцируемы в и для них выполняются условия Коши-Римана. Значит функция удовлетворяет условиям Коши-Римана и имеет производную . Это означает, что есть первообразная для . Эти рассуждения верны и в обратную сторону. Теорема доказана.

Следствие: Для любой гладкой дуги в области имеет место формула Ньютона-Лейбница:

Отсюда следует, что значение интеграла зависит от выбора точек И не зависит от выбора пути , который их соединяет. Пусть - некоторая точка в , тогда значение производной в любой точке области можно посчитать по формуле: , где - кусочно-гладкий путь из в .

Сведения из математического анализа:

Опр: Дифференциальная форма называется Точной в области , если она имеет первообразную, то есть .

Опр: Дифференциальная форма называется Локально точной в , если существует окрестность (круг ), в которой является точной.

Теорема: Если - односвязная область, то любая локально-точная дифференциальная форма в ней является точной.

Следствие: Если - односвязная область, то из локального существования первообразной для непрерывной функции следует существование первообразной для этой функции во всей области.

Яндекс.Метрика