20. Гладкие дуги, гладкие кривые и интеграл от функции комплексного переменного

Рассмотрим непрерывную функцию . непрерывна по .

Опр: называется Гладким путем, если и . - начало и конец пути. Если Иньективно, т. е. , то дуга называется Гладкой дугой с началом в и концом в .

Опр: Жорданова дуга с концами в и называется Гладкой, если существует ее гладкая параметризация, т. е. непрерывно-дифференцируемое отображение , осуществляющее гомеоморфизм на такое, что на .

Опр: Жорданова дуга называется Кусочно-гладкой, если существует конечный набор точек , последовательно расположенных на , такой, что , где от до - гладкая дуга.

Опр: Жорданова кривая называется Гладкой, если существует ее параметризация , где - единичная окружность и .

Опр: Пусть - гладкая дуга от к . Функция задана на и непрерывна. Интегралом по дуге от к функции называется величина:

В формуле стоят криволинейные интегралы второго рода.

Иначе формулу можно записать так:

Свойства интеграла: 1) 2) 3)

4) 5) , где - элемент дуги.

Дополнительные замечания:

1) Выберем параметризацию . Тогда имеем следующее: и

2) , тогда:

3) Если - кусочно-гладкая, то

4) Положительное направление обхода области (см. рисунок) – такой обход, при котором область остается слева.

Пусть , тогда . Где слева стоит интеграл в положительном направлении, а справа – в отрицательном (в обозначении отрицательного направления в дальнейшем над обозначением дуги будет стоять черта).

Яндекс.Метрика