22. Лемма о треугольнике

Опр: Говорят, что функция , непрерывная в области обладает Свойством треугольника, если

Утверждение: Если непрерывная в обладает свойством треугольника, то для нее локально существует первообразная.

Доказательство: . Пусть . Тогда имеем: . Пусть - треугольник с вершинами . Тогда: . Отсюда получаем далее: ;

Применив получаем: …

Непрерывность: ; …

Отсюда следует: . Утверждение доказано.

Лемма о треугольнике: Если аналитическая в , то она обладает свойством треугольника (и, следовательно, имеет первообразную).

Доказательство: Пусть задан треугольник . Обозначим: - периметр, - диаметр. Допустим, что: . Тогда . Обозначим его через и применим к нему такое же разбиение. Таким образом получим последовательность таких, что . Периметр , диаметр . По лемме о вложенных компактах , , следовательно . В силу аналитичности функции, имеем в окрестности : . Выберем достаточно большое . . Первые два интеграла равны нулю в силу того, что для подынтегральных функций существует непрерывная первообразная, а интеграл по замкнутому контуру. Далее: , значит .Тогда

По выбору : . Из выкладок получаем: или - противоречие, так как величина слева есть костанта. Лемма доказана.

Яндекс.Метрика