29.10. Действия над тензорами

Пусть заданы два тензора одинакового строенияТ. е. заданы координа

ТыИх суммой будет тензор того же строения с координатами

Сказанное остается в силе и при сложении нескольких тензоров одинакового строения.

Если- координаты тензора типаИ- координаты

Тензора типаТо произведением этих тензоров будет тензор, координаты

Которого выражаются следующим образом:

Т. е. в каждом базисе каждую координату первого тензора умножают на каждую координату второго тензора и полученные произведения принимают за координаты нового тензора типаУказанным способом можно перемножать любое число тензоров. Результат умножения зависит не только от типа сомножителей, но и от их порядка.

Операция свертывания тензора имеет специфически тензорный характер, и применяется к тензорам смешанного типа Пусть дан произвольный тензор, имеющий хотя бы один верхний и хотя бы один нижний индексы. Индексы выбирают произвольно и отбирают те координаты тензора, для которых выбранные индексы имеют одинаковые значенияЭто означает, что производится

Суммирование всех выбранных координат при фиксированных значениях остальных индексов. Получаем тензор, утративший по сравнению с исходным по одному нижнему и верхнему индексу. Если тип исходного тензора, то полученный

В связи с тем, что валентность тензора при свертывании понижается на две единицы, эта операция является весьма важным источником получения инвариантов - величин, не зависящих от выбора базиса. Если у тензора одинаковое число верхних и нижних индексов, то, применяя операцию свертывания столько раз, сколько верхних или нижних индексов, получают число. При сворачивании тензора типаПолучаем- след соответствующей матрицы. Особенно часто применяется свертывание к тензорам, полученным как произведение. Так, запись линейной формыМожно рассматривать как

Тензор имеет тип. Пусть, выбираем, например, индексыИ

И рассматриваемТ. е.

Получение инвариантаПутем свертывания произведения тензоровИ Транспонирование тензоров (операция подстановки индексов) по двум ковариантным или двум контравариантным индексам - преобразование рассматриваемого тензора в тензор того же типа, координаты которого отличаются от координат исходного тензора порядком транспонируемых индексов. Например,

Операция симметрирования по группе р ковариантных или контравариантных индексов заключается в следующем: транспонируют тензор, совершая всевозможные перестановки индексов выбранной группы. Полученные таким образом тензоров складывают и делят эту сумму наПолученный тензор обозначается заключением выбранной группы индексов в круглые скобки. Так, тензор симметрированный по индексамИмеет вид

Операция альтернирования (альтернации) по группеКовариантных или контравариантных индексов производится следующим образом: транспонируем тензор, совершая всевозможные перестановки индексов выбранной группы. ПолучаемТензоров. Далее складываем тензоры, полученные четными перестановками и из этого результата вычитаем тензоры, полученные нечетными перестановками, окончательный результат делим наПолученный тензор обозначается заключением выбранной группы индексов в квадратные скобки. В результате альтернирования тензораПолучаемАльтернирование тензора

По индексам

Тензор называют кососимметрическим по нескольким одноименным индексам, если он умножается наПри транспонировании любых двух из этих индексов. Примером кососимметрического тензора может быть тензор типаКоординат

Ты которого образуют кососимметрическую матрицу, т. е. матрицу вида

, или тензор типаКоординаты которого обладают свойством

В результате альтернирования получают кососимметрический тензор по индексам, участвующим в альтернации.

< Предыдущая		Следующая >