29.09. Полилинейные функции векторного аргумента. Понятие тензора

 

Если каждому векторуИзПоставлено в соответствие число так, что для любых векторовИИзИ для

Любого числаТоНазывают линейной функцией

Или линейной формой.

ОбозначаяКоординаты вектораВ базисеПолучаем

ЧислаНазывают коэффициентами линей

Ной формы. Линейную форму считают заданной, если в некотором базисе заданы ее коэффициенты.

Если любым векторамИзПоставлено в соответствие число

Так, что— функция линейная относитель

Но всех своих аргументов, тоНазывают полилинейной функцией

Или полилинейной формой.

В этом случае при

ЧислаНазывают коэффициентами полилинейной

Формы. Всего их. ПриФорму называют билинейной.

В тензорном исчислении принято соглашение о суммировании: если в некотором одночленном выражении одинаковый буквенный индекс встречается

Дважды - один раз вверху и один раз внизу, то это означает сумму выражений этого рода для значений индексаНапример,

Обозначение индексов суммирования не играет роли:

Если вВыбраны два базиса

(29.12)

И

(29.13)

То каждый вектор системы (29.13) можно разложить по базису (29.12):

(29.14)

Матрица перехода от базиса (29.12) к базису (29.13) имеет вид

(29.15)

Матрица перехода от базиса (29.13) к базису (29.12) является обратной матрице (29.15):

(29.16)

Учитывая соглашение о суммировании, формулы (29.14) можно записать в виде

(29.17)

Аналогично, учитывая матрицу (29.16) и соглашение о суммировании, получаем

Преобразования, в которых участвуют элементы матрицы (29.15), называют ковариантными (сопреобразующимися, изменяющимися так же). Преобразования, с участием элементов матрицы (29.16), называют контравариантными (противопреобразукмцимися).

Ковариантным тензором ранга(тензором типаИли) называется величина, которая в каждом базисе векторного пространстваЗадаетсяУпорядоченными системами чиселВ базисе (29.12) иВ базисе (29.13)). которые при переходе от базиса (29.12) к базису (29.13) преобразуются по закону

(29.19)

-  элементы матрицы (29.15). Ранг тензора называют также валентностью. Пусть- линейная форма порядкаС коэффициентами

(В базисе (29.12) иВ базисе (29.13). Учитывая определение коэф

Фициентов полилинейной формы, соотношение (29.17) и свойства линейности, можно получить

Таким образом, линейная форма порядкаЯвляется ковариантным тензором типа Удобно считать, что и тензор типаЯвляется линейной формой порядка

Контравариантным тензором ранга(тензором типаИли) называется

Величина, которая в каждом базисе-векторного пространстваЗадаетсяУпорядоченными системами чиселВ базисе (29.12) иВ базисе (29.13)), которые при переходе от базиса (29.12) к базису (29.13) преобразуются по закону

(29.20)

-  элементы матрицы (29.16).

ЕслиКоординаты вектораВ базисе (29.12),-в

Базисе (29.13), тоСледовательно,

Приравнивая координаты при, получаем

Таким образом, вектор - это контравариантный тензор, т. е. тензор типа Наоборот, тензор типаМожно рассматривать как вектор.

ЧислаНазывают контравариантными координатами вектора.

Тензором типа(Раз ковариангным иРаз контравариантным) называется величина, которая в каждом базисе векторного пространстваЗадаетсяУпорядоченными системами чисел (В базисе (29.12) иВ базисе (29.13)), которые при переходе от базиса (29.12) к базису (29.13) преобразуется по закону

- элементы матриц (29.15) и (29.16). ЧислаНазывают координатами

Тензора в базисе (29.12),- координатами тензора в базисе (29.13).

< Предыдущая		Следующая >