29.11. Тензоры в евклидовом пространстве

В евклидовом пространствеВведено скалярное произведение двух векторов - билинейная форма Иначе говоря, евклидово пространство - это линейное пространство, в котором определен тензор типа. ЕслиТо

, гдеСим

Метричный тензорНазывают метрическим. В результате свертывания тензоров ИПолучают числа— ковариантные координаты вектораКова-

Риакгные координаты - это проекции вектораНа базисные векторы, так как

Дважды контравариантный тензорС матрицей, обратной матрице тензора, называют контравариантным метрическим тензором. Любой одновалентный ковариантный тензорПутем свертывания с тензоромМожно преобразовать в контравариантный

Операцию перехода от контравариантных координат вектора к его

Ковариантным координатам называют операцией «опускания индекса», а операцию перехода от ковариантных координат к контравариантным - операцией «поднятия индекса». Операцию опускания или поднятия индекса в евклидовом пространстве применяют к тензорам любой структуры.

Если базис ортонормирован, то нет необходимости различать ковариантные и контравариантные тензоры, так как матрица (29.16) получена в этом случае транспонированием матрицы (29.13) и во всех преобразованиях участвуют лишь элементы матрицы (29.13). В этом базисе

Примером двухвалентного тензора является тензор деформации, который определяет положение точек тела после деформации по отношению к их положению до деформации. Если- декартовы прямоугольные координаты точки

Тела до деформации,- координаты вектора перемещения и деформация

Мала, то координаты тензора деформации имеют вид

И матрица этого тензора

< Предыдущая		Следующая >