2.3.3. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений

Пусть дана совместная система линейных алгебраических уравнений (2). Выберем в матрице этой системы какой-нибудь базисный минор. Неизвестные, коэффициенты при которых образуют столбцы базисного минора, называются Базисными, а остальные неизвестные – Свободными.

Общим решением системы называется представление базисных неизвестных через свободные. Будем считать, что порядок базисного минора равен R и он находится в левом верхнем углу (этого всегда можно добиться, переставляя уравнения системы и переобозначая переменные). Из теоремы Кронекера-Капелли вытекает, что этот минор является базисным и для расширенной матрицы, а из теоремы о базисном миноре следует, что все строки в расширенной матрице, начиная с (R + 1)-ой, есть линейные комбинации строк базисного минора. Иначе говоря, все уравнения системы, начиная с (R + 1)-ого, являются следствием первых R уравнений и их можно отбросить. Перенеся свободные неизвестные в правую сторону, получим систему

Запишем эту систему в матричном виде:

Где

В силу того, что |M| не равен нулю, существует обратная матрица M-1. Умножая равенство (5) на M-1, получим общее решение

Введем столбцы из П строк:

Придавая свободным переменным Xr+1, ..., Xn произвольные числовые значения С1, …, СN-R, общее решение (6.6) можно переписать в виде:

Х = е0 + С1Е1 + … + СN-REn-R.

Если свободные неизвестные отсутствуют, т. е. R = N, то решение системы единственно. Таким образом, из теоремы Кронекера-Капелли вытекает

Следствие 6.1. Для того чтобы система (2) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы

Тем самым возможны лишь следующие три случая:

1. – система несовместна.

2. – система имеет единственное решение.

3. – система имеет бесконечно много решений.

< Предыдущая		Следующая >