2.3.2. Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

Напомним, что матрицей системы А и столбцом свободных членов B называются матрицы

Нам потребуется еще понятие Расширенной матрицы системы

Теорема 6.2 (Кронекера-Капелли). Для того чтобы система (2) Была совместна, необходимо и достаточно, чтобы

(3)

Доказательство.

1. Необходимость.

Пусть система (2) совместна. Это означает, что найдутся числа Х1, …, Хп такие, что

Где через Aj, J = 1, ..., N, обозначается J-й столбец матрицы А. Вычитая из последнего столбца расширенной матрицы Ā первый, умноженный на Х1, затем второй, умноженный на Х2 и т. д., последний, умноженный на Хп, придем к матрице

Ранг которой равен рангу расширенной матрицы Ā. Поскольку очевидно, что rg Ā’ = rg A, имеет место равенство (3).

2. Достаточность.

Пусть выполнено равенство (3). Выберем в матрице А базисный минор. Пусть его столбцы имеют номера J1,...,Jr. Этот же минор является базисным и для расширенной матрицы Ā. По теореме о базисном миноре столбец B может быть представлен как линейная комбинация столбцов базисного минора

Положив

Получим, что имеет место равенство (4). Это означает, что найденные Xj,

J = 1,...,N, удовлетворяют системе (2).

Яндекс.Метрика