Лекция 3

План лекции

1.7.3 Теорема сложения

1.7.4 Теорема о вероятности появления хотя бы одного

из независимых событий

1.7.5 Формула полной вероятности

1.7.3  Теорема сложения

Теорема: Вероятность суммы (любых) двух событий равна сумме вероятностей каждого за вычетом вероятности их совместного появления

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А×В).

Доказательство:

Представим событие А+В как сумму несовместных событий:

.

Используем аксиому о вероятности суммы несовместных событий

Далее применяем теорему умножения: P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B)

Согласно следствию из аксиомы 4

Можно переписать

Далее

Пример

Прозводится залп из двух орудий. Найти вeроятность P(C) поражения цели, если события A и B - соответственно попадание первым и вторым орудием - независимые события

C = (A + B), P(A)= 0.7, P(B) = 0.8

Подставляя получим P(A+B) = 0.7 + 0.8 - 0.56 = 0.94

Тот же ответ мы получим, если используем следствие 1 , вытекаю­щее из аксиомы 4

= 1-0.3·0.2=0.94

Частные случаи теоремы сложения

А) несовместные события AB = V, P(AB)=0 P(A+B) = P(A) + P(B)

Б) совместные события

* зависимые события P(B)-P(B/A) , P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B/A)

** независимые события P(B)=P(B/A)

Выражение для суммы трех событий получим, используя правила из алгебры событий.

Р(А+В+С) = Р[(А+В)+С] = Р(А+В) + Р(С) – Р(АС+ВС) =

= Р(А) +Р(В) – Р(АВ) + Р(С) - [Р(АС) + Р(ВС) - Р(АС. ВС)] =

= Р(А) +Р(В) + Р(С) - Р(АС) - Р(АВ) - Р(ВС) + Р(АВС).

Выражение для суммы n событий находится обобщением полученных ре­зультатов:

Частный случай: события независимы и Р(Аi) = р;

.

Пример1:

Радиопередатчик выходит в эфир, в течение короткого промежутка времени передает сообщение и выключается. Для контроля эфира исполь­зуется 4 независимых идентичных радиоприемных пунктов. Какова вероятность обнаружения работающего передатчика при работе всех радиоприемных пунктов (событие А) , если вероятность обнаружения на одном р=0,9 ?

- 6p2= 4p + 4p3 – p4 =

Какой должна быть вероятность обнаружения на одном приемном пункте, чтобы все вмес­те они обеспечивали вероятность обнаружения 0.9999

P(Ai) = ?

1.7.4 Теорема о вероятности появления хотя бы одного из независимых событий

Пусть событие А есть сумма событий , где все события независимы. Тогда

.

Теорема: Вероятность появления хоты бы одного из независимых событий равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий.

Доказательство: Предварительно покажем, что

;

Как следует из алгебры событий

Событие А, равносильное наступлению хотя бы одного из независимых событий , соответствует по определению их сумме .

=.

Частный случай, который соответствует условиям задачи:

Применительно к условиям задачи об обнаружении работы передатчика получим

0,9999 = 1 – (1-Р)4 = 1 - q4; q4 = 0,0001; q = 0,1; p = 1 – q = 0,9.

Пример 2:

Вероятность поражения самолета одной ракетой равна p. Найти ве­роятность поражения при одновременном пуске трех ракет, считая, что по­ражение цели любой из ракет есть независимые события.

Два варианта решения

1.  P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) - P(AB)-P(AC)-P(BC) + P(ABC)

2.  P(A+B+C) = 3p - 3p2 + p3

P(A+B+C) = 1 - qn = 1 - q3 = 1 - (1-p)3

До сих пор мы рассматривали свойства вероятностей сумм и произве­дений событий. На практике появление или не появление интересующего нас события может быть связано с несколькими взаимно исключающими ус­ловиями.

1.7.5 Формула полной вероятности

Пусть событие А может происходить с одним из событий Н1, Н2, … , Нn. Эти события составляют полную группу несовместных событий. Вероятности появления каждого из них известны:

Р(Н1), Р(Н2), … , Р(Нn).

Поскольку неизвестно, с каким из событий Ні появилось событие А, то эти события называются гипотезами. Условные вероятности появления события А - Р(А/Ні) – известны.

Теорема: Вероятность события А, которое может наступить при появлении одного из полной группы несовместных событий – гипотез равна сумме произведений вероятностей каждой из этих гипотез на соответствующую условную вероятность события А

.

Доказательство: А = АН1 + АН2 + … + АНn - несовместны;

Р(А) = Р(Н1)Р(А/Н1) + Р(Н2)Р(А/Н2) + … + Р(Нn)Р(А/Нn).

Пример: В урне находится два шара, и в неё бросают белый шар. Затем наугад извлекают один шар. Найти вероятность извлечения белого шара (событие А), считая равновозможными следующие гипотезы:

Н1 – в урне два белых, Н2 – в урне два черных, Н3 – в урне черный и белый шары, Р(Н1) = Р(Н2) = Р(Н3) = 1/3.

Условные вероятности :

Р(А/Н1) = 1, Р(А/Н2) = 1/3 , Р(А/Н3)= 2/3

Проверка : , В - извлечен черный шар.

< Предыдущая		Следующая >