logo

Решение контрольных по математике!!!

Лекция 4

План лекции

1.7.6 Теорема гипотез

1.7.7 Независимые повторные испытания

1.7.7.1 Формула Бернулли

1.7.7.2 Локальная теорема Лапласа

1.7.7.3 Интегральная теорема Лапласа

1.7.6 Теорема гипотез (формула Бейеса)

Эта теорема - следствие теоремы умножения и формулы полной вероятности и позволяет уточнять вероятности появления событий - гипотез от опыта к опыту.

Пусть имеется полная группа событий – гипотез Н1, Н2, … , Нn. Вероятности появлений этих событий, с которыми связано событие А, до проведения опыта известны и равны соответственно: Р(Н1), Р(Н2), …,Р(Нn).

Производится опыт, в результате которого событие A происходит.

Теорема: Если в результате опыта происходит событие А, появление которого определяется гипотезами Н1, Н2, … , Нn, то вероятности этих гипотез изменятся, и эти изменения описываются формулой

,

Где Р(Нi/А) – апостериорная вероятность I-ой- гипотезы, если событие А произошло

 

Доказательство:

Согласно теореме умножения вероятность одновременного появления двух событий равна:

P(AHi) = P(A) P(Hi/A) = P(Hi)P(A/Hi) , i =1,2, … , n.

Отсюда P(A) P(Hi/A) = P(Hi) P(A/Hi) , i =1,2, … , n

В этом равенстве P(Hi/A) - условная вероятность события Hi,, рассчитанная при условии, что событие А произошло, а P(A) - это априорная вероятность появления события A, которую находят по формуле полной вероятности:

.

Пример: На заводе 40% приборов собирают из высококачественных деталей (гипотеза Н1), а 60% - из деталей обычного качества (гипотеза Н2). Вероятность отказа в течение гарантийного срока Q1 = 0,05; Q2 = 0,3. В течение гарантийного срока отказов не произошло. Как изменятся вероятности гипотез Н1 и Н2?

Обозначим событием А отсутствие отказа.

Р(Н1) = 0,4;

Р(Н2) = 0,6;

р1= 1- 0,05 = 0,95 и

р2= 0,7 - соответствующие гипотезам условные вероятности.

Р(А) = Р(Н1)×Р(А/Н1) + Р(Н2)×Р(А/Н2) = 0,4×0,95+0,6×0,7 = 0,38+0,42 = 0,8;

Р(Н1/А) = - апостериорная вероятность гипотезы Н1

Р(Н2/А) = - апостериорная вероятность гипотезы Н2 . Решим задачу для случая, когда отказ произошел ( событие ).

;

- апостериорная вероятность гипотезы Н1

- апостериорная вероятность гипотезы Н2 .

1.7.7 Независимые повторные испытания

Испытания называются независимыми, если исход каждого опыта ( событие А произошло или не произошло) не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Пусть вероятность появления события А в каждом из этих опытов одна и та же: и .

1.7.7.1 Формула Бернулли

Теорема: Вероятность появления события А ровно k-раз при количестве опытов n определяется количеством возможных комбинаций, при которых событие А происходит. Эта вероятность равна

- формула Бернулли.

 

Доказательство:

Предварительно рассмотрим ситуации, возможные при количестве опытов n = 3 для k = 2

,

и ситуации, возможные при количестве опытов n = 4 для k = 3:

.

Возможные исходы при любом n для k = 0,1,2,…,n можно найти из выражения:

,

Где индексы соответствуют порядковому номеру испытания. Согласно аксиоме сложения и частному случаю теоремы умножения для независимых событий можно прийти к выводу, что вероятности возможных комбинаций определяются выражением , которое представляет собой бином Ньютона:

.

Пример: Рассчитать вероятность поражения цели 0,1,2,3 раза при пуске трех ракет, если вероятность поражения одной ракетой р = 0,9.

0 ;

1 ;

2 ;

3 .

1.7.7.2 Локальная теорема Лапласа

Эта теорема применима для большого числа испытаний ( n > 20), когда формула Бернулли требует большого количества вычислений.

Теорема Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что со­бытие A появится в n испытаниях ровно k раз приближенно равна

(см. 2.5.2) , где 0 ¹ р ¹ 1; ; n > 20.

 

Это выражение может вывести, если использовать формулу Стирлинга, которая дает приближенное значения факториала для больших значений n :

Функция (см. 2.5.5) приводится в таблицах и может быть посчитана с помощью калькулятора.

Пример. Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 80 раз в 400-ах испытаниях, если вероятность появления A в каждом p=0.2.

N = 400 k = 80 p = 0.2 находим х = 0

Р400(80) = 0,0498

1.7.7.3 Интегральная теорема Лапласа

В практике применения теории вероятности возникает задача, когда нужно определить вероятность появления события не менее k1 и не более k2 раз при условии, что количество испытаний n достаточно велико.

Пример: Вероятность того, что транзистор не прошел ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 транзисторов не проверено от 70 до 100.

Теорема: Если вероятность события А равна р, и она одинакова в каждом испытании и отлична от 0 и 1, то вероятность события, которое заключается в том, что А происходит от k1 до k2 раз, приближенно равна

,

где n > 20; 0 ¹ p ¹ 1; ; .

 

Функция , которая называется интегралом Лапласа (см. 2.5.5) приводится в учебниках и справочниках по теории вероятностей;

Рn(k1,k2) = Ф(а2) - Ф(а1).

Вернемся к нашему примеру

p=0.2 q=0.8 n=400 k1 = 70 k2 =100 npq = 82

P400(70,100) = Ф(а2) - Ф(a1) = Ф(2.5) - Ф(-1.25)

P400(70,100) = 0.888

 
Яндекс.Метрика
Наверх