logo

Решение контрольных по математике!!!

Лекция 2

Цель лекции – приступить к изучению свойств вероятностей

План лекции

1.5 Вероятность события. Статистическая формулировка

1.6 Аксиомы теории вероятностей

1.7 Основные свойства вероятности событий

1.7.1.Зависимые и независимые события. Условные вероятности.

1.7.2. Теорема умножения вероятностей

1.5.  Вероятность события в сТАтистической формулировке

Классическое определение вероятности события может быть использо­вано в тех случаях, когда события представляют полную группу элемен­тарных событий, и каждое из них является равновозможным. Но это лишь частный случай.

Существуют события, которые в этот частный случай не вписываются. Напри­мер, поражение мишени разными стрелками. Можно сделать вывод, что классическое определение не охватывает случаи, когда появление или не появление события связано с тем или иным испытанием или эксперимен­том. При этом под "испытанием" или "экспериментом" в ТВ понимают так­же и совокупность природных условий, при которых явление имеет может произойти. Для определенности в формулировке термина вероятность вводятся дополнительные термины:

Относительной частотой появления события W(A) или статистической вероятностью события P*(A) В данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых событие произошло, к общему числу произведен­ных опытов:

Пример: Вероятность рождения девочек ниже.

Вероятностью появления события A называется число, около которо­го колеблется (или больше или меньше) относительная частота появления события при неограниченном увеличении числа испытаний и сохранении условий экспе­римента.

Пример: определение вероятности поражения цели из автомата Кала­шникова. Производят серии выстрелов (например, по сто выстрелов в каждой серии). Для каждой серии фиксируют относительную частоту поражения цели. Например, 95/100, 99/100, 97/100, 96/100, 100/100, 95/100 и т. д.

Статистическое определение вероятности появления события имеет тот недостаток, что:

- как правило, не имеется возможность произвести достаточное количество опытов;

- трудно сохранить одинаковые условия эксперимента.

1.6 Аксиомы теории вероятностей

Они используются для строго построения математической теории ве­роятностей, т. е. применяется при аналитических исследованиях свойств ве­роятности. Такие исследования базируются на использовании понятия поле событий.

Совокупность событий

{А1,А2,…} = W

называется полем события, если выполняются следующие условия:

1. . Такая запись означает, что для всяких Аi и Аj, взятых из поля событий, их сумма также входит в поле события. V – квантор общности;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Аксиома 1.

Всякому событию из поля события ставят в соответствие некоторое неотрицательное число, которое называют его вероятностью

Аi ® Р(Аi); Р(Аi)³0, где i=1,2,…

Аксиома 2.

Вероятность достоверного события принимается равной единице

P(U) = 1.

Аксиома 3. (аксиома сложения).

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей каждого

Р(Аi+ Аj) = Р(Аi) + Р(Аj);

Аi × Аj = V; i, j = 1,2,…. i ¹ j.

Аксиома 3¢. (расширенная аксиома сложения)

Вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей каждого

Р(А1 + А2 +…+ Аn) = Р(Аi) + Р(Аj) +…+ Р(Аn);

Аi × Аj = V; i, j = 1,2,…. i ¹ j.

Аксиома 4.

Если событие А равносильно наступлению хотя бы одного из попарно несовместных событий А1, А2, …,Аn, то вероятность этого события равна сумме вероятностей каждого

.

Следствия:

1. Вероятность противоположного события равна 1 за вычетом вероятности прямого события

;

Доказательство ;

.

2. Вероятность невозможных событий равна 0

Доказательство

.

3. Вероятность любого события лежит в пределах

0 £ Р(Аi) £ 1.

1.7  Основные свойства вероятности событий

Использование свойств вероятности события в большинстве случаев существенно упрощают расчет вероятности сложного события че­рез вероятности простых событий его составляющих. Для практики применение этих свойств значительно уменьшают расход материальных ресурсов. Пример - определение вероятности поражения самолета при пуске двух ракет, если известна вероятность поражения одной ракетой.

1.7.1.Зависимые и независимые события. Условные вероятности.

Событие В называется зависимым от события A, если вероятность его появления или непоявления зависит от появления или непоявления события A.

Определение Условной вероятностью события В называется вероятность, вычисленнная в предположении, что событие А произошло

Для условных вероятностей справедливы все 4 аксиомы и все следствия.

1.7.2. Теорема умножения вероятностей

Вероятность совместного появления двух событий A и B равна произ­ведению вероятности одного из них на условную вероятность второго при условии, что первое произошло.

P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B)

Доказательство. По классическому определению вероятности одновременного появления (любых) двух событий (А и В) она равна отношению количества случаев, в которых эта пара появлялась, к общему количеству равновозможных элементарных случаев. Пример – четное число на грани игральной кости ( nAB/ n)

Отсюда можно сформулировать:

Зависимы те события, для которых Р(В) ¹ Р(А/В).

Независимы те события, для которых Р(В) = Р(А/В).

Следствие 1

Если появление события В не зависит от появления события А, то и появление события А не зависит от события В:

Р(В) = Р(В/А); Р(АВ) = Р(А)×Р(В/А) = Р(В)×Р(А/В); Р(А) = Р(А/В).

Следствие 2

 Если события А и В независимы, то вероятность их совместного появления равнася произпроизведению их вероятностей

Р(А×В) = Р(А)×Р(В).

Следствие 3

Для любого числа независимых событий А1, А2 , А3 , …

Р(А1×А2×А3×…) = Р(А1)×Р(А2)×Р(А3)×…

Примеры на использование аксиом и теоремы умножения

Определить вероятность поражения цели двумя ракетами, если вероятность поражения каждой равна 0,9 . Поражение первой (событие А) и второй ракетой ( событие В) есть события независимые.

Событие «поражение цели двумя ракетами » есть сумма А+В. Представим ее в виде трех несовместных событий

Согласно аксиоме сложения вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей каждого. Тогда

Согласно следствию 1 из аксиомы 4 вероятность противоположного события равна 1 за вычетом вероятности прямого события

;

А согласно теореме умножения для независимых событий их совместное появление равно произведению вероятностей

Подставляя числовые значения, получим

.

Можно решить эту задачу иначе. Непоражение цели есть событие противоположное событию А+В, То-есть

и тогда

Используя следствие 1, получим тот же результат.

 
Яндекс.Метрика
Наверх