7.9. Обобщенные степенные ряды. Ряд Тейлора

Ряд вида (2.6) называется Обобщенным степенным рядом. Сделав в нем замену , получим обычный степенной ряд вида (2.5):

(3.32)

Он, как мы знаем, сходится на интервале , где

(3.33)

- радиус сходимости ряда (3.32). Тогда эта величина R определяет и интервал сходимости обобщенного степенного ряда (2.6):

То есть областью сходимости ряда (2.6) является интервал и, возможно, его концы (рис. 7.3).

Различные функции можно раскладывать не только в обычные степенные ряды, используя разложение Маклорена (3.18), но и в обобщенные степенные ряды. А именно, если функция бесконечно дифференцируема в точке Х0, то для такой функции можно записать разложение вида

(3.34)

Это разложение называется Разложением функции в степенной ряд Тейлора. Оно вытекает из формулы Тейлора (формула (6.10) главы 4) и справедливо для всех Х, для которых остаточный член

(3.35)

Этой формулы стремится к нулю при . Обычно это выполняется для всех Х, входящих в интервал сходимости ряда Тейлора (3.34).

Сравнивая разложение (3.18) функции в ряд Маклорена и разложение (3.34) этой же функции в ряд Тейлора, видим, что разложение Маклорена использует в качестве опорной точки значение , а разложение Тейлора – произвольное значение . Поэтому говорят, что разложение Маклорена – это разложение функции в степенной ряд в окрестности точки , а разложение Тейлора – это разложение функции в степенной ряд в окрестности точки . С удалением Х от опорной точки (от нуля для ряда Маклорена и от X0 Для ряда Тейлора) сходимость каждого из этих рядов ухудшается (идет медленнее). А при достаточно больших Х, выходящих за интервалы их сходимости, разложение заданной функции в эти ряды становится заведомо несправедливым.

Пример 6. Получить разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки .

Решение. Опираясь на формулу (3.34) и учитывая, что

; ; ; ; ; … ,

А значит,

; ; ; ; ; … ,

Получим:

(3.36)

Анализируя остаточный член (3.35) (анализ этот опускаем), можно показать, что при для . Значит, для этих Х верно и разложение Тейлора (3.36):

(3.37)

Впрочем, разложение (3.37) можно было бы получить и проще, опираясь на полученное ранее разложение (3.14), если сделать в нем замену 1+Х на Х.

Упражнения

1. Определить область сходимости степенного ряда .

Ответ: .

2. Записать в виде степенного ряда функцию и вычислить , взяв в получившемся ряду столько членов, сколько нужно для того, чтобы погрешность вычисления была меньше 0,001.

Ответ:

; .

3. Использую биноминальное разложение (3.25), найти с точностью до 0,001.

Ответ: .

4. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки (по степеням ) функцию и найти значения переменной , для которых будет справедливо полученное разложение.

Ответ:

 

< Предыдущая		Следующая >