8.1. Функции многих переменных. Основные понятия

До сих пор, встречаясь с функциями, мы имели дело с функциями вида Y = F(X), то есть с функциями одного аргумента (одной переменной) Х. Однако многие теоретические и прикладные задачи требуют для своего решения использования функций нескольких переменных. А именно, функций вида Z = F(X; Y) – функций двух переменных; функций вида U = F(X; Y; Z) – функций трех переменных, и т. д. Причем в реальных теоретических и прикладных задачах функции многих переменных встречаются даже чаще, чем функции одной переменной. Действительно, в реальных условиях каждая исследуемая величина У зависит, вообще говоря, от многих величин (х1; х2; …; Xn), то есть представляет собой функцию Y = F(х1; х2; …; Xn) многих переменных. И только если влияние на величину У какой-то одной из этих переменных (например, Х1) существенно больше, чем влияние остальных, то пренебрегая этими остальными переменными, получим функцию Y = F(х1) одной переменной. Это простейший и наиболее легко анализируемый случай, который мы и изучали до сих пор.

Например, путь S, проходимый свободно падающим телом, объективно зависит от многих величин: от времени падения T, плотности воздуха R, массы Т и объема V тела, и т. д. То есть S = F(T; R; M; V; …) – функция многих переменных. И только пренебрегая влиянием на путь S сопротивления воздуха, а значит, исключая влияние на S величин R, т, V И т. д., получим известную еще из школьной физики зависимость , представляющую собой функцию одной переменной T.

Впрочем, исследуемая величина может и существенно зависеть от нескольких других величин, так что влиянием ни одной из них на исследуемую величину пренебречь нельзя. Например, ток I, проходящий через некоторое сопротивление R, существенно зависит от величины этого сопротивления и напряжения U на концах этого сопротивления: (закон Ома). Еще пример: прибыль предприятия R существенно зависит от цены Р единицы продукции этого предприятия, от количества Q единиц проданной продукции, от денежных затрат Z На производство и реализацию проданной продукции: R = Pq – Z. То есть величина R Является функцией по меньшей мере трех переменных (P; Q; Z), каждая из которых существенна.

Такие примеры указывают на то, что в математике должен быть разработан аппарат исследования функций многих переменных. Такой аппарат давно разработан. Во многом он использует те же понятия и идеи, что и аппарат исследования функций одной переменной. Однако есть и существенные различия. В чем они состоят – об этом ниже.

< Предыдущая		Следующая >