7.8. Степенные ряды. Ряды Маклорена и Тейлора
Начнем с того, что найдем область сходимости степенного ряда (2.5). Для этого проанализируем положительный числовой ряд, составленный из его модулей:
(3.1)
Применим к нему признак Даламбера. Для этого найдем Q (см. (1.26)):
; (3.2)
Введем обозначение
, откуда 
(3.3)
Тогда выражение для Q Примет вид:
(3.4)
Согласно признака Даламбера:
1) Если Q<1, то есть если |X| < R, или, что одно и то же, если –R < X < R, то ряд (3.1) сходится. А вместе с ним сходится, причем абсолютно, и ряд (2.5).
2) Если Q>1, то есть |X|>R или, что одно и то же, если X > R или X < –R, то ряд (3.1) расходится. Заметим, что при этом и ряд (2.5) тоже не будет сходиться, ибо условие 
для любого положительного ряда 
означает, что начиная с некоторого номера N, то есть при N >N, отношение 
становится больше 1 и остается таковым для любых N >N. А это значит, что для N >N будет 
. То есть начиная с номера N члены 
положительного ряда растут, а значит, заведомо не стремятся к нулю. Получается нарушенным необходимое условие сходимости ряда 
, а заодно – и степенного ряда 
, ибо слагаемые первого из них – просто модули последнего. То есть действительно при X > R и X < –R ряд (2.5) будет расходиться.
3) Наконец, если Q = 1, то есть если X = ± R, то о сходимости – расходимости и ряда (3.1), и ряда (2.5) ничего сказать нельзя. Этот случай нужно исследовать особо.
Итак, Выводы:
Степенной ряд (2.5) сходится при –R < X < R; расходится при X > R и X < – R; при X = ± R он может как сходиться, так и расходиться (рис. 7.2).
Величина R, определяемая по формуле (3.3), называется Радиусом сходимости степенного ряда (2.5). А интервал (- R; R) называется Интервалом сходимости этого степенного ряда. Областью сходимости D Степенного ряда (2.5), таким образом, является его интервал сходимости (- R; R) и, возможно, его концы.
Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда 
.
Решение. Данный ряд – это ряд вида (2.5) при 
. Определим, используя формулу (3.3), его радиус сходимости R:
.
Итак, данный степенной ряд сходится при X є (- 2; 2) и, возможно, еще в точках x = ± 2. Для всех остальных X он расходится.
Исследуем ряд при X = ± 2.
1) Если X = 2, то наш ряд примет вид:
Это – гармонический ряд (1.17) без первых двух своих членов. А значит, он расходится.
2) Если X = - 2, то получим:
Это – знакочередующийся ряд, сходящийся по признаку Лейбница.
Таким образом, областью сходимости D степенного ряда является полуинтервал [- 2; 2).
Степенные ряды (2.5) обладают замечательным свойством: внутри их интервалов сходимости (- R; R) их можно почленно дифференцировать и интегрировать. Это значит, что если
, (- R < x < R) (3.5)
То
; (3.6)
. (3.7)
Эти факты примем без доказательства. Ограничимся лишь приведением примеров их использования.
Пример 2. Рассмотрим степенной ряд
(3.8)
Это – степенной ряд вида (2.5) при 
(N = 0, 1, 2, …). Его радиус сходимости R, согласно формуле (3.3), равен 1 : R = 1. То есть ряд (3.8) сходится в интервале (-1; 1), причем на обоих концах этого интервала он, очевидно, расходится. А так как этот ряд представляет собой еще и сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем x, То известна, согласно (1.15), и его сумма:
(3.9)
Заменяя в (3.9) X на - X, получим еще один степенной ряд с известной суммой:
(3.10)
Если теперь почленно продифференцировать равенства (3.9) и (3.10), то получим еще два разложения:
(3.11)
(3.12)
А если равенство (3.10) почленно проинтегрировать в промежутке [0; T], где 
, то получим:
(3.13)
Или в обычных обозначениях (заменив T на X):
(3.14)
Перейдя в этом равенстве к пределу при X®1, получим:
(3.15)
Равенства (3.9) – (3.14) являются разложениями в степенные ряды, расположенные слева, тех функций, которые находятся справа.
Рассмотрим теперь общую проблему разложения любой заданной функции F(X) в степенной ряд (2.5). Для этого обратимся к формуле Маклорена (6.12) главы 4:
(3.16)
Здесь
, 
(3.17)
- остаточный член формулы Маклорена (3.16), записанный в форме Лагранжа.
Допустим, что функция F(X) имеет при X = 0 производные любого порядка. И допустим, что для некоторого множества значений аргумента X 
при 
. Тогда переходя в формуле Маклорена (3.16) к пределу при , для этих значений X получим:
(3.18)
Формула (3.18) представляет собой не что иное, как разложение функции F(X) в степенной ряд. Этот ряд называется Рядом Маклорена. Разложение (3.18) верно и может быть использовано лишь для тех X, для которых при 
.
Пример 3. Пусть 
. Тогда 
, а значит, 
. Разложение Маклорена (3.18) в данном случае примет вид:
(3.19)
Выясним теперь, для каких значений X оно справедливо. Для этого выпишем и проанализируем остаточный член 
. Так как 
при любом N, то
(3.20)
Покажем, что 
при 
для любого 
. Для этого рассмотрим положительный числовой ряд 
. Применим к нему признак Даламбера:
(3.21)
- при любом X. Значит, ряд сходится при любом X. Но тогда, в силу необходимого условия сходимости любого ряда, при . И это выполняется для любых X, 
. Значит, и разложение (3.19) справедливо для любых X:
(3.22)
Совершенно аналогично можно доказать и много других разложений различных функций в степенной ряд Маклорена. Например:
Х – в радианах) (3.23)
Х – в радианах) (3.24)
Любое) (3.25)
(3.26)
Разложения (3.22) – (3.26) и им подобные широко используются как для приближенного вычисления значений стоящих слева функций с любой заданной точностью, так и для различных математических операций с указанными функциями.
Пример 3. Вычислить 
с точностью до 0,0001.
Решение. Используя разложение (3.22) при Х = - 0,2, получим:
Отбрасывая в получившемся знакочередующемся ряде четвертое слагаемое, меньшее допустимой погрешности 0,0001, и все последующие за ним, которые еще меньше, получим с требуемой точностью:
.
Пример 4. Вычислить приближенно с точностью до 0,001 неберущийся определенный интеграл 
.
Решение. Используя разложение (3.24), получим:
Отбрасывая в получившемся знакочередующемся числовом ряде четвертое слагаемое, которое меньше допустимой погрешности 0,001, и все последующие за ним, получим с требуемой точностью 0,001:
. (3.27)
Пример 5. Построить в виде степенного ряда приближенное решение задачи Коши
(3.28)
Эта задача, заметим, не имеет точного решения, так как дифференциальное уравнение 
не может быть решено в квадратурах.
Решение. Искомое решение 
ищем в виде ряда Маклорена:
(3.29)
Для неизвестных коэффициентов 
, 
, 
, 
… этого ряда получаем:
1) 
- согласно начальному условию задачи Коши (3.28).
2) 
согласно обоим равенствам задачи Коши (3.28).
3) Дифференцируя обе части уравнения , получим: 
. Полагая здесь Х = 0 и учитывая, что и 
, получим: 
;
4) Дифференцируя обе части равенства , получим: 
, откуда 
.
Продолжая этот процесс, можем получить 
; 
, и т. д. В итоге на основании (3.29) искомое решение задачи Коши (3.28) примет вид:
(3.30)
На основании общей теории дифференциальных уравнений можно доказать, что ряд (3.30) сходится для всех 
. То есть его радиус сходимости 
. Ограничиваясь найденными первыми четырьмя слагаемыми этого ряда, получим следующее приближенное решение задачи Коши (3.28):
(3.31)
Оно будет тем точнее, чем ближе Х к нулю.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
