19. Вычет функции и его вычисление

Пусть функция аналитична в некоторой окрестности точки A за исключением быть может самой точки А.

Определение. Вычетом функции относительно точки А (обозначается или называется число, равное

; (7.1)

L- простой замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции и содержащий внутри себя (только) одну особую точку А. В качестве L удобно брать окружность достаточно малого радиуса . Из определения (7.I) следует, что вычет функции совпадает с коэффициентом разложения ее в ряд Лорана по степеням :

. (7.2)

Из представления (7.2) следует, что вычет в правильной и устранимой особой точках равен нулю. Вычет в простом полюсе определяется по формуле

. (7.3)

Если , причем А – простой нуль функции , а , то

. (7.4)

Вычет функции В полюсе А порядка M определяется по формуле

. (7.5)

Если точка А – существенно особая точка функции, то для определения необходимо найти коэффициент в лорановском разложении функции в окрестности точки А.

Пример 1. Найти вычеты функции в ее особых точках.

Решение. Особыми точками функции являются точки и . В точке имеем: , то есть точка - устранимая особая точка функции . Поэтому . В точке , то есть точка - полюс (первого порядка) функции . По формуле (7.3) имеем .

Пример 2. Определить вычет функции относительно точки .

Решение. Точка является полюсом третьего порядка функции, так как

. В соответствии с (7.5) получим:

.

Пример 3. Найти вычет функции в ее особых точках.

Решение. Особой для данной функции является точка Z = 2. Это – существенно особая точка (из свойств функции следует, что ). Для определения вычета найдем коэффициент разложения функции в ряд Лорана по степеням Z – 2. Так как , , то и, следовательно, .

Яндекс.Метрика