18. Изолированные особые точки

Напомним определение. Точка называется особой точкой аналитической функции , если в ней аналитичность ее нарушается.

Определение 2. Точка называется изолированной особой точкой функции , если существует окрестность этой точки с исключенной точкой , в которой аналитична, кроме самой точки .

Существует три типа изолированных особых точек. Приведем их определения.

Определение 3. Точка называется устранимой особой точкой , если разложение ее в ряд Лорана в окрестности этой точки не содержит главной части.

Определение 4. Точка называется полюсом кратности N функции, если в разложении ее в ряд Лорана в окрестности точки главная часть содержит конечное число членов, причем младшим отличным от нуля коэффициентом является .

Определение 5. Точка называется существенно особой точкой функции , если главная часть ее разложения в ряд Лорана в окрестности этой точки содержит бесконечное число членов.

Приведем критерии типа изолированных особых точек.

1) для того, чтобы точка была устранимой особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы .

2) для того, чтобы точка была полюсом кратности N функции, необходимо и достаточно, чтобы , .

3) для того, чтобы точка была существенно особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы .

Полезна следующая теорема. Для того, чтобы точка была полюсом порядка N функции, нужно, чтобы она была нулем N - го порядка функции (связь между нулями и полюсами).

Пример 1. Для функции особой точкой является . Имеем - есть устранимая особая точка.

Пример 2. Для функции является особой точкой. Так как - это полюс. Так как для функции т. является нулем пятого порядка, то - полюс пятого порядка функции .

Пример 3. Для функции является особой точкой. Разложение в ряд Лорана: в главной части содержит бесконечное число членов: это существенно особая точка.

Пример 4. Найти все особые точки функции и определить их характер.

Решение. Особыми точками являются точка и точки, в которых знаменатель обращается в нуль. Имеем , откуда , причем эти точки являются нулями первого порядка. Следовательно, в точках , функция имеет простые полюса. Точка не является изолированной особой точкой, так как она является пределом полюсов: : это означает, что любая окрестность точки содержит бесконечное число особых точек .

Задачи для самостоятельного решения

У нижеследующих функций найти нули и определить их порядки:

132. . 133. . 134. . 135. . 136. .

137. .

Найти порядок нуля для следующих функций:

138. . 139. . 140. .

141. .

Определить характер особой точки для следующих функций:

142. . 143. . 144. .

Найти особые точки и определить их характер у следующих функций:

145. . 146. . 147. . 148. . 149. .

150. . 151. . 152. . 153. .

Яндекс.Метрика