4.1. Огибающая однопараметрического семейства кривых на плоскости

Определение. Огибающей однопараметрического семейства кривых на плоскости называется кривая, которая в каждой своей точке касается одной из линий семейства.

Пусть однопараметрическое семейство кривых задается уравнением

. (4.1)

Для вычисления углового коэффициента касательной к линии семейства продифференцируем последнее уравнение по Х в предположении, что У – неявная функция от Х. Предполагаем также, что случай (особые точки семейства) из рассмотрения исключаются.

, или (4.2)

Для записи искомого уравнения огибающей формально используем ту же функцию

,

Где, однако, – произвольное аналитическое выражение. Отсюда получаем

. (4.3)

Поскольку угловые коэффициенты огибающей и касательной к линиям семейства в точке касания совпадают, то, сравнивая (4.1) и (4.2), получаем, что . Если , то , и мы получаем заданное семейство кривых. Поэтому следует считать, что . Окончательно, для определения огибающей получаем систему уравнений

, . (4.4)

Исключая из системы параметр С, получим искомое уравнение огибающей.

Заметим, что огибающая семейства кривых может и не существовать, а исключение параметра из системы уравнений (4.4) может привести к геометрическому месту особых точек семейства, в которых кривые не имеют касательных.

Пример. Рассмотрим семейство окружностей заданного радиуса, центры которых лежат на оси ОХ:

.

Система уравнений (4.4) принимает вид

,

Что приводит к двум огибающим семейства .

< Предыдущая		Следующая >