4.2. Огибающая однопараметрического семейства поверхностей

Определение огибающей семейства поверхностей не отличается по сути от определения огибающей семейства кривых.

Пусть имеется семейство поверхностей

. (4.5)

Фиксируя значение С, получим определенную поверхность семейства. Рассмотрим новую поверхность, которая определяется тем же уравнением, но с переменной величиной С

,

И пусть этот переменный параметр определяется из соотношения

.

Можно сказать, что эта поверхность определяется системой уравнений

, . (4.6)

Покажем, что эта система определяет огибающую данного семейства поверхностей, т. е. поверхность, которая в каждой своей точке касается какой-либо поверхности семейства. Действительно, для заданного семейства (48) в силу постоянности С должно выполняться условие

.

На огибающей поверхности С – переменная величина, и мы должны записать

.

В силу условия для огибающей эти два условия совпадают, т. е. бесконечно малое перемещение () в общих точках огибающей и поверхности семейства ортогонально одному и тому же направлению, которое определяется вектором , откуда и следует доказательство искомого касания.

Заметим, что огибающая семейства поверхностей может и не существовать.

Пример. Рассмотрим семейство сфер заданного радиуса , центры которых находятся на оси

.

Дифференцируя по С, имеем . Исключая из этих уравнений С, получим уравнение кругового цилиндра

,

Который касается каждой из сфер данного семейства.

< Предыдущая		Следующая >