05.3. Обратная матрица

Если для квадратной матрицы А существует матрица D, такая что DА = АD = Е, то матрица D Называется матрицей обратной к матрице А и обозначается: D = A–1.

1°. Если A–1 существует, то она единственна.

◀ . ▶

2°. (A–1)–1 = A. ◀ A = AE = A(A–1(A–1)–1) = (AA–1) (A–1)–1 = E(A–1)–1 = (A–1)–1. ▶

3°. (AB)–1 = B–1A–1.

◀ B–1A–1 = B–1A–1E = B–1A–1((AB)×(AB)–1(AB)) = B–1(A–1A)B×(AB)–1 = B–1B(AB)–1 = (AB)–1. ▶

4°. det(A–1) = (detA)–1. ◀ AA–1 = E Þ detAA–1 = detA ×det(A–1) = 1 Þ det(А–1) = . ▶ 5°. Чтобы квадратная матрица А имела обратную А–1 необходимо и достаточно, чтобы detA ¹ 0.

Если detA ¹ 0, то матрица А Называется невырожденной.

◀ Необходимость. $А–1 Þ det(A–1) = Þ detA ¹ 0.

Достаточность. Возьмем матицу D с элементами

Þ (DA)Ij = . ▶

Доказательство теоремы одновременно дало и способ построения матрицы, обратной к невырожденной матрице А. Чтобы построить матрицу обратную к А, надо:

1) найдем detA. Если detA = 0, то А–1 не существует. Если detA ¹ 0, то продолжаем построение обратной матрицы;

2) для элементов Aij матрицы А найдем их алгебраические дополнения Aij;

3) разделим матрицу из алгебраических дополнений на detA;

4) транспонировав полученную матрицу, получим матрицу А–1.

Пример: : 1. detA = 2. 2. А–1 =.

В идеологии обратной матрицы решение квадратных систем с невырожденной матрицей становится весьма прозрачным: Ax = b Þ A–1Ax = A–1B Þ X = A–1B.

Есть и Другие способы нахождения обратной матрицы.

А.

1) Запишем матрицу А, а справа от нее, через вертикальную черту, запишем единичную матрицу. Получим матрицу N – строк, 2N – столбцов;

2) В получившейся матрице с помощью применения к строкам (и только) преобразований не изменяющих ранг матрицы образуем на месте матрицы А – единичную матрицу.

На месте единичной матрицы будет стоять А–1.

Б.

1) Справа от матрицы припишем единичную матрицу Е, а снизу припишем матрицу (–Е). В правом нижнем углу поставим нулевую матрицу.

2) Используя операции только над строками, получившейся матрицы, на месте матрицы (–Е), образуем нулевую матрицу.

Тогда, в правом нижнем углу будет стоять А–1.

В.

Для обращения матрицы, имеющей блочную структуру, т. е. матрицы вида: , где А – квадратная матрица порядка N´N, а D – квадратная матрица Q´Q, справедливы следующие формулы:

1. Первая Формула Фробениуса (если detA ¹ 0):

, где H = D – CA–1B.

2. Вторая Формула Фробениуса (если detD ¹ 0):

, где K = A – BD–1C.

< Предыдущая		Следующая >