02.04. Ортогональные системы векторов

Def: Векторы X, YÎV называются ортогональными, если (Х, у) = 0.

1°. Если "YÎV, (X, Y) = 0 Þ X = q.

◀ Т. к. (X, Y) = 0 "Y, положим У = Х. Тогда (X, Х) = 0 Þ X = q. ▶

Система векторов Называется ортогональной, если (Fi, Fj) = 0 для I ¹ J (отметим, что (Fi, Fi) = |Fi|2).

Система векторов Называется ортонормированной, если.

2°. Ортонормированная система векторов – линейно независима.

◀ – ортонормированна. Пусть a1E1 + a2E2 + …+ aNen = q. Умножим обе части равенства скалярно на Ej И получим: в левой части , а в правой части (q, Ej) = 0, т. е. aJ = 0. Равенство aJ = 0 для любого J означает линейную независимость ортогональной системы векторов. ▶

3°. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов есть сумма произведений одноименных координат.

◀ – ортонормированный базис . Тогда

. ▶

Следствие. В ортонормированном базисе

4°. В любом (конечномерном) евклидовом пространстве существует ортогональный базис.

◀ Пусть F1, F2, …, Fn базис в V. Покажем, что по указанному базису можно построить ортогональный базис (этот процесс называют Процессом ортогонализации).

А) E1 = F1;

Б) E2 = F2 + aE1 и a найдем из условия (E1, F1) = 0,

0 = (E1, E2) = (E1, F2) + a(E1, E2) Þ a = ;

В) E3 = F3 + aE1 + bE2 и a, b найдем из условий (E3, E1) = (E3, E2) = 0,

0 = (E1, E3) = (F3, E1) + a(E1, E2) Þ a = ,

0 = (E2, E3) = (F3, E2) + b(E2, E2) Þ b = ;

………………

………………

Г) . ▶

Нормируя векторы ортогонального базиса получим ортонормированный базис пространства, т. е.

5°. В каждом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Процесс построения ортонормированного базиса, примененный в предыдущей теореме Называется процессом ортогонализации Штурма.

< Предыдущая		Следующая >