26.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Уравнение вида
(26.7)
Где- постоянныеНазывается дифференциальным уравнением
Второго порядка с постоянными коэффициентами.
ЕслиТо уравнение (26.7) называется линейным однородным диффе
Ренциальным уравнением с постоянными коэффициентами или уравнением без правой части:
Последнее уравнение можно привести к виду
(26.8)
Уравнение
(26.9)
Называется характеристическим уравнением для уравнения (26.8).
В зависимости от корнейИХарактеристического уравнения (26.9) получаем общее решение уравнения (26.8) в виде
(26.10)
Если корни действительны и различны;
(26.11)
Если корни действительны и равны;
(26.12)
Если- комплексные числа.
Пример 26.4. Проинтегрировать дифференциальное уравнение Найти частное решение, удовлетворяющее условиям:
При
Характеристическое уравнение (26.9) для данного уравнения принимает вид Так какТо общее решение в соответствии с
(26.10) определяется формулой
Чтобы найти указанное частное решение, подставим начальные данные х = 0, В выражения дляИ , Из этой системы находим При этих значенияхИФункция (1) принимает видИтак,
— искомое частное решение.
Пример 26.5. Проинтегрировать уравнение
Характеристическое уравнениеИмеет два равных корня
Общее решение данного дифференциального уравнения в соответствии с (26.11) определяется формулой
П р^и м е р 26.6. Найти общее решение уравнения
Характеристическое уравнениеИмеет комплексные корни
Общее решение определяется формулой (26.12), в которой
Нужно положить I Пример 26.7. Решить уравнение Характеристическое уравнениеИмеет чисто мнимые корни
Пользуясь формулой (26.12), полагая в ней получаем общее решение
< Предыдущая | Следующая > |
---|