26.1. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка. Случаи понижения порядка
Если уравнение
Разрешимо относительно старшей произ
Водной, то его можно представить в виде
(26.1)
К простейшим интегрируемым дифференциальным уравнениям второго порядка относятся уравнения, для которых функция, стоящая в правой части равенства (26.1), зависит только от одного из трех аргументов:
(26.2)
(26.3)
(26.4)
Общее решение уравнения (26.2) находится двукратным интегрированием.
Которая дает возможность свести их к уравнениям с разделяющимися переменными: 
Уравнение
(26.6)
Подстановкой (26.5) приводится к уравнению первого порядка
С неизвестной функцией
Уравнение
Той же подстановкой сводится к уравнению первого порядка
В котором роль независимой переменной играет у.
Пример 26.1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение
Это уравнение вида (26.2). Преобразуя исходное уравнение, получаем
Интегрируя последнее уравнение, находим производную искомой функции 
Так как
То в результате интегрирования полученного уравнения нахСдим общее решение
Пр имер 26.2. Найти частное решение дифференциального уравнения 
, удовлетворяющее условиям:
При
Данное уравнение можно разрешить относительно
, правая часть его будет зависеть только от у, это уравнение вида (26.4).
Применяем подстановку (26.5), т. е. полагаем
Тогда
Откуда
Из начального условия
При
Используя начальное условие
При
J определяем
. Функция (1)
Принимает вид
, она определяет искомое частное решение.
Пример 26.3. Найти общее решение дифференциального уравнения
Это уравнение вида (26.6). Применяем подстановку (26.5). Так как
И
То исходное уравнение можно записать так:
Уравнение (2) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка относительно неизвестной функции р. Полагая
Находим
И подставляем выражения для
И
В уравнение (2):
В качестве
Возьмем функцию, для которой
Тогда уравнение (4) примет вид
Из уравнения (5) находим
Подставив это выражение в уравнение (6), получим
По формуле (3) найдем
Уравнение (1) примет вид
Откуда
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
