25.5. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Решение многих научных и технических задач приводит к интегрированию дифференциальных уравнений. В этих задачах требуется установить зависимость между переменными величинами некоторого физического, химического или другого процесса, найти уравнение линии или поверхности и т. п.
При решении таких задач можно руководствоваться следующим.
1. Необходимо сначала составить дифференциальное уравнение из условия задачи.
2. Определить тип полученного уравнения и выбрать метод решения.
3. Найти общее решение уравнения.
4. Получить частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям.
5. В случае необходимости вычислить значения вспомогательных параметров (коэффициент пропорциональности и др.).
6. Бели это требуется, найти численные значения искомых величин.
Составление дифференциального уравнения по условию научной или технической задачи состоит в определении математической зависимости между переменными величинами и их приращениями, в нахождении выражения для производной.
В некоторых случаях приращения целесообразно сразу заменить соответствующими дифференциалами.
При составлении дифференциальных уравнений используются соответственно геометрический или механический смысл производной; кроме того, в зависимости
От условия задачи применяются соответствующие законы физики, механики, химии и других наук.
Пр имер 25.5. Найти линию, у которой отрезок нормали в любой ее точке, заключенный между осями координат, делится пополам в этой точке. Составить уравнение такой линии, проходящей через точку
Пусть- произвольная точка
(рис. 25.1) искомой линииГде-
Пока неизвестная функция аргументаУравнеНие нормали к линииВ точке
Обозначим черезИТочки пересечения нормали с координатными осями. Положив в этом уравнении, найдем- абсциссу точки
ПриИз того же уравнения найдем— ординату точки
Поскольку— середина отрезка, то
Каждое из этих уравнений приводится к уравнению
Уравнению (1) удовлетворяют координаты любой точкиИскомой
Линии, поэтому
Уравнение (2) является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получаем общий интеграл
Общий интеграл (3) определяет множество равносторонних гипербол с действительной осьюПри; множество равносторонних гипербол с действительно осьюПриПару прямыхПриНайдем ту линию, которая проходит через точку М (5,4). Подставив в уравнение (3) координаты точки, определим значение параметра,. При уравнение (3) принимает вид, или
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение относительно искомой функции, ее первой и второй производной. В общем виде это уравнение можно записать так:
Где- заданная функция указанных аргументов.
Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функцияОтИ двух независимых произвольных постоянных
И, обращающая данное уравнение в тождество. Общее решение, заданное в неявном видеНазывают общим интегралом.
Частным решением уравненияНазывается решение
Получающееся из общего путем фиксирования значений произвольных постоянных:
Задача Коши. Найти решениеДифференциального уравнения второго по
Рядка, удовлетворяющее условиям:ПриЧислаОпреде
Ляющие искомое частное решение, находятся из системы уравнений:
< Предыдущая | Следующая > |
---|