25.3. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли
Уравнение
Или
(25.6)
Называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Решение линейного уравнения ищут в виде произведения двух функций:
Подстановка выражений для
И
В уравнение (25.6) приводит его к виду
В качестве
Выбирают одну из функций, удовлетворяющих уравнению 
Тогда функция и определяется уравнением
Для решения уравнения (25.6) можно применить метод вариации произвольной постоянной, состоящий в следующем: сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения (т. е. уравнения, для которого
); величину
, входящую в это общее решение, полагают функцией х и находят ее. Уравнением Бернулли называется уравнение
Где
- действительное число. Это уравнение является линейным в случае 
В других случаях оно сводится к линейному с, помощью
Подстановки
Пример 25.3. Проинтегрировать дифференциальное уравнение
Данное уравнение является линейным. Решение этого уравнения ищем в виде (25.7). Поскольку
, то
В качестве v выберем одну из функций, обращающих в нуль коэффициент при и в уравнении (1), т. е. решение уравнения
Уравнение (2) является уравнением с разделяющимися переменными
И
Разделив переменные, получим
Откуда
Полагая
, получаем
Уравнение (1) с учетом (2) сводится к
Уравнению
Из которого определяется
По формуле (25.7) находим общее решение 
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
