25.2. Однородные уравнения

ФункцияНазывается однородной измерения т, если для любых t

Выполняется тождество

(25.2)

Дифференциальное уравнение первого порядка

(25.3)

Называется однородным, если— однородные функции одного

И того же измерения.

С помощью новой переменнойВводимой по формуле

(25.4)

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Уравнение

(25.5)

Также можно привести к однородному уравнению с помощью преобразования ГдеИОпределяются системой уравнений

В случае, когда

Уравнение (25.5) сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью преобразованияВ случае, когда

Пример 25.2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Это уравнение приводится к виду (25.3), где

- однородные функции первого измерения; они удовлетворяют условию (25.2) при. Полагая, или(см. (25.4)), находимПод

Ставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем

Вводя новую переменнуюПо формулеИ интегрируя, находим

Откуда

Следовательно,- общее решение.

< Предыдущая		Следующая >