2. Прямая в пространстве. 2.1. Различные уравнения прямой

Рассмотрим прямую L в пространстве, проходящую через точку М0(x0,y0,z0) параллельно вектору =(l, m,n), который называют Направляющим. Пусть М(x, y,z) – произвольная (текущая) точка на прямой. Тогда (и только тогда) векторы и коллинеарны, т. е.

=t·, (10)

Где t – действительное число (параметр).

Распишем покоординатно уравнение (10):

, или

(11)

Уравнения (11) называются Параметрическими уравнениями прямой L в пространстве. При любом t уравнения (11) определяют некоторую точку М(x, y,z) на прямой L и, обратно, для любой точки М на прямой L однозначно определяется значение параметра t. Уравнения (11) можно трактовать как уравнения равномерного движения точки М (x, y,z) по указанной прямой, а вектор (l, m,n) – вектор скорости движения точки. При t=0 получаем «начальную» точку M0(x0,y0,z0) (рис. 4).

Рис. 4

Выразим параметр t из уравнений (11) и исключим его.

, или

(12)

Уравнения (12) называют Каноническим уравнением прямой в пространстве. Фактически уравнения (12) выражают пропорциональность координат векторов и , т. е. условие коллинеарности этих векторов в координатной форме. Отметим, что в равенствах (12) содержится два линейных уравнения (третье следует из первых двух).

Может случиться, что какие-то координаты направляющего вектора равны нулю, этого не следует бояться. В каноническом уравнении допускается форма записи, например:

.

Эту запись следует понимать так, что вторая координата вектора равна нулю, y – 1 = 0, или , т. е. если знаменатель в (12) равен нулю, то и числитель – ноль.

< Предыдущая		Следующая >