2.1.1. Прямая как пересечение двух неколлинеарных плоскостей

Рассмотрим две плоскости A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0. Пусть векторы – нормали этих плоскостей не коллинеарны, их координаты не пропорциональны, а значит не выполняется хотя бы одно из равенств

.

Отсюда следует, что хотя бы один из трех определителей

(13)

Отличен от нуля. Тогда данные плоскости пересекаются по прямой, уравнение которой имеет вид (такое уравнение прямой называют общим)

, (14)

Где хотя бы один из определителей (13) не равен нулю. Заметим, что направляющий вектор прямой (14) ортогонален каждому из векторов и

,

Откуда следует, что .

Поставим задачу: перейти от уравнения прямой (14) к её каноническому уравнению. Чтобы написать каноническое уравнение прямой, необходимо знать какую-нибудь точку на прямой и её направляющий вектор . Что касается направляющего вектора, то этим вектором может служить векторное произведение [,].

.

Чтобы определить какую-нибудь точку М0(x0,y0,z0) на прямой, следует выбрать одно частное решение из множества решений системы (14). Для этого достаточно применить одну из координат точки М0 равной нулю, так, если

,

То полагаем z0=0 и находим единственное решение системы

.

< Предыдущая		Следующая >