82. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Углы между прямыми

Пусть две прямые A и B в пространстве, в некоторой аффинной системе координат заданные каноническими уравнениями

A:, (1)

B:. (2)

Эти прямые A и B задаются своими направляющими векторами S1 = (M1,K1,L1), S2 = (M2,K2,L2) и точками M1(X1,Y1,Z1), M2(X1,Y1,Z1) которые принадлежат этим прямым. Рас-сотрим вектор .

Рассмотрим матрицу, составленную из координат этих векторов,

.

1. Прямые A и B скрещиваются тогда и только тогда, когда векторы , S1, S2 некомпланарны. Последнее равносильно тому, что det A Не равен нулю, т. е. rang A = 3.

2. Прямые A и B пересекаются тогда и только тогда, когда векторы , S1, S2 компланарны, а векторы S1 и S2 неколлинеарны. Последнее равносильно тому, что det A =0, а и вторая и третья строки матрицы A непропорциональны, т. е. rang A = 2, а ранг матрицы, составленной из двух последних строк равен 2.

3. Прямые A и B параллельны тогда и только тогда, когда векторы S1 и S2 коллинеарны, а векторы И S1 неколлинеарны. Последнее равносильно тому, что в матрице А вторая и третья строки пропорциональны, т. е. rang A = 2, а ранг матрицы, составленной из двух последних строк равен 1.

4. Прямые A и B совпадают тогда и только тогда, когда векторы , S1 и S2 попарно коллинеарны. Последнее равносильно тому, что все строки матрицы А попарно пропорциональны, т. е. rang A = 1.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть прямые A и B заданы каноническими уравнениями (1) И (2). Тогда справедливы следующие утверждения:

1) A и B скрещиваются тогда и только тогда когда rang A = 3;

2) A и B пересекаются тогда и только тогда, когда rang A = 2, А вторая и третья строки матрицы A непропорциональны;

3) A И B Параллельны тогда и только тогда, когда rang A = 2, А вторая и третья строки матрицы A Пропорциональны;

7) A И B Совпадают тогда и только тогда, когда rang A = 1.

< Предыдущая		Следующая >