81. Различные уравнения прямой в пространстве

Пусть в пространстве задана аффинная система координат (O,E1,E2,E3) .

Определение 1. Направляющим вектором прямой A называется ненулевой вектор S, параллельный прямой A.

Пусть S = (M,K,L) -направляющие вектора прямой А, M0(X0,Y0,Z0)- точка, принадлежащая прямой А. Пусть M(X,Y,Z), произвольная точка пространства,

.

Точка M принадлежит прямой А Тогда и только тогда, когда векторы И S коллинеарны. Последнее равносильно тому, что координаты этих векторов пропорциональны. Отсюда получаем Уравнение прямой, проходящей через точку M0(X0,Y0,Z0), параллельной вектору S = (M,K,L):

. (1)

Уравнение (1) называется Каноническим уравнением прямой. Заметим, что если знаменатель в каноническом уравнении равен нулю, то и соответствующий числитель равен нулю.

Пусть M1(X1,Y1,Z1) и M2(X2,Y2,Z2) - две различные точки, принадлежащие прямой А. В качестве направляющего вектора прямой А возьмем вектор . Тогда по формуле (1) получаем Уравнение прямой, проходящей через две точки:

. (2)

Рассмотрим радиус вектора RO = и R =. Точка M принадлежит прямой А тогда и только тогда, когда векторы = R - RO и S коллинеарны. Так как вектор S ненулевой, то последнее равносильно тому, что вектор R - RO линейно выражается через вектор S, т. е.

R - RO = TS,

Где T - действительное число.

Отсюда получаем так называемое Векторно-параметрическое уравнение плоскости:

R = RO + TS, (3)

Где T - произвольный действительный параметр.

Так как R == (X,Y,Z), RO = = (X0,Y0,Z0), то запишем это уравнение в координатной форме. Получим Параметрические уравнения прямой прямой А:

(4)

Где T - произвольный действительный параметр, S = (M,K,L) - направляющий вектор прямой А, M0(X0,Y0,Z0) - точка, принадлежащая прямой А.

Прямую можно также представить как линию пересечения двух пересекающихся плоскостей a и b:

, (5)

Где A12 + B12+ C12 ≠ 0, A22 + B22+ C22 ≠ 0;

Чтобы перейти от уравнений (4) прямой к каноническим уравнениям прямой необходимо найти точку M0 этой прямой и направляющий вектор этой прямой. Решив систему (4) и найдем одно ее частное решение (X0,Y0,Z0), M0(X0,Y0,Z0)- точка, принадлежащая прямой А.

Наиболее легко направляющий вектор прямой находится в прямоугольной системе координат исходя из определения векторного произведения векторов. Для этого рассмотрим нормальные вектора N1 = (A1,B1,C1), N2 = (A2,B2,C2) плоскостей a и b. Направляющим вектором прямой пересечения плоскостей a и b является векторное произведение векторов N1 , N2.

Находим векторное произведение векторов

N1 ´ N2 = .

Таким образом, каноническое уравнение прямой (4) имеет вид:

. (5)

< Предыдущая		Следующая >