83. Угол между прямыми в пространстве

Определение 1. Углом между двумя прямыми Называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным прямым.

Пусть две прямые A и B в пространстве, в некоторой прямоугольной системе заданы каноническими уравнениями (1) и (2) из § 6.

Угол J Между прямыми A и B равен углу между их направляющими векторами S1 = (M1,K1,L1), S2 = (M2,K2,L2). По определению скалярного произведения векторов

S1S2 = |S1|×| S2|cos J.

Отсюда находим формулу косинуса угла между прямыми A и B:

. (3)

Заметим, что прямыми A и B перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы S1 и S2 ортогональны. По условию ортогональности векторов последнее равносильно тому, что скалярное произведение S1S2 = 0. Так как S1S2 = M1M2+K1K2+L1L2, то получаем теорему.

Теорема 2. Прямые A и B Перпендикулярны тогда и только тогда, когда

N1N2 = M1M2+K1K2+L1L2 = 0. (4)

< Предыдущая		Следующая >