Задачи по тфкп
1. В плоскости дано уравнение линии
. На какую линию плоскости
она отображается функцией
? Привести поясняющие чертежи.
Уравнение линии |
Функция |
|
|
Так как
То
Но ,
, то есть окружность радиуса 1 в плоскости z отобразится в окружность радиуса 1 в плоскости w:
2. Выделив в данной функции действительную и мнимую части, выяснить, аналитическая ли она. Вычислить значение
(выделить действительную и мнимую части) при данном значении аргумента
.
Функция |
|
|
|
Выделим действительную и мнимую части данной функции:
Тогда имеем
Проверяем условия Коши — Римана:
Первое условие выполняется ,
Второе условие выполняется , следовательно, функция является аналитической.
Подставим в
Получим
3. Вычислить данный интеграл по двум разным контурам и
, используя для этого теорему Коши, интегральную формулу Коши или формулу, получаемую дифференцированием интегральной формулы Коши.
Интегралы |
Контур |
Контур |
|
|
|
Решение
Найдём особые точки функции :
Изобразим контур интегрирования и данные точки:
- окружность с центром в точке О(0;0), радиуса 1.
Внутри данного контура не лежит ни одна особая точка, следовательно, согласно теореме Коши:
Изобразим контур интегрирования и данные точки:
- окружность с центром в точке О(1;0), радиуса 1.
Внутри данного контура лежит одна особая точка - простой полюс, следовательно, согласно теореме Коши:
4. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности заданной точки
и определить область существования полученного разложения.
Функция |
|
|
|
Приведём данную функцию к виду:
То есть
Используем разложение ,
.
Преобразуем дроби к нужному виду
,
.
Значит при и при
, т. е. при
и при
можно получить разложения полученных выражений в ряд:
Областью существования разложения является область в которой сходятся оба из рядов. То есть круг радиуса 1 с центром в точке z=2. Значит, в круге получим разложение в ряд Лорана функции
5. При помощи теоремы о вычетах вычислить данный интеграл по контуру .
Интеграл |
Контур |
|
|
Решение
Знаменатель подынтегрального выражения обращается в ноль в точках и
, которые находятся внутри контура
, причем
является кратным корнем уравнения
.
Изобразим контур интегрирования L и данные точки:
Используя теорему о вычетах получим:
Тогда получим:
Ответ:
< Предыдущая | Следующая > |
---|