Задачи по тфкп |
1. В плоскости
Так как То Но
2. Выделив в данной функции
Выделим действительную и мнимую части данной функции: Тогда имеем Проверяем условия Коши — Римана: Первое условие выполняется Второе условие выполняется Подставим в Получим 3. Вычислить данный интеграл по двум разным контурам
Решение Найдём особые точки функции Изобразим контур интегрирования
Внутри данного контура не лежит ни одна особая точка, следовательно, согласно теореме Коши: Изобразим контур интегрирования
Внутри данного контура лежит одна особая точка 4. Разложить функцию
Приведём данную функцию к виду: То есть Используем разложение Преобразуем дроби к нужному виду
Значит при Областью существования разложения является область в которой сходятся оба из рядов. То есть круг радиуса 1 с центром в точке z=2. Значит, в круге 5. При помощи теоремы о вычетах вычислить данный интеграл по контуру
Решение Знаменатель подынтегрального выражения обращается в ноль в точках Изобразим контур интегрирования L и данные точки: Используя теорему о вычетах получим: Тогда получим: Ответ:
|