Функции нескольких переменных
4.21 Проверить, что заданная функция удовлетворяет заданному соотношению
,
Найдём производные
,
,
Подставим в данное уравнение и преобразуем
,
,
- верно
6.21 С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции в заданной точке
,
Приближенное значение некоторой функции f(x, y) в точке (x, y) с помощью полного дифференциала находится по формуле (*)
, где
, значение функции f(x, y) в точке
.
Точка Подбирается таким образом, чтобы
Легко вычислялось;
,
Приращение функции f(x, y) в точке
По переменным x и y соответственно.
В качестве точки Возьмем точку N(5,3), так как значение x и y в точке N целые и точка N близка к данной точке M.
Тогда
В точке N:
В точке N:
,
8.21 Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке
Решение
Имеем
Тогда
Тогда, по формуле - уравнение касательной плоскости к данной поверхности в указанной точке. В нашем случае
то есть
, а уравнение нормали по формуле
примет вид
9.21 Найти экстремумы функций
Решение
Определим стационарные точки из системы
Откуда имеем единственную действительную стационарную точку: Воспользуемся достаточным условием
Таким образом, ,
,
То есть, согласно критерию Сильвестра, представляет собой положительно определённую квадратичную форму. Следовательно, в точке
функция имеет минимум.
< Предыдущая | Следующая > |
---|