Функции нескольких переменных

4.21 Проверить, что заданная функция удовлетворяет заданному соотношению
,

Решение

Найдём производные

,,

Подставим в данное уравнение и преобразуем

,

,

- верно

6.21 С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции в заданной точке
,

Решение

Приближенное значение некоторой функции f(x, y) в точке (x, y) с помощью полного дифференциала находится по формуле (*)

, где , значение функции f(x, y) в точке .

Точка Подбирается таким образом, чтобы Легко вычислялось; , Приращение функции f(x, y) в точке По переменным x и y соответственно.

В качестве точки Возьмем точку N(5,3), так как значение x и y в точке N целые и точка N близка к данной точке M.

Тогда

В точке N:

В точке N:

,

8.21 Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке

,

Решение

Имеем

Тогда

Тогда, по формуле - уравнение касательной плоскости к данной поверхности в указанной точке. В нашем случае то есть , а уравнение нормали по формуле примет вид

9.21 Найти экстремумы функций

Решение

Определим стационарные точки из системы

Откуда имеем единственную действительную стационарную точку: Воспользуемся достаточным условием

В точке :

Таким образом, , ,

То есть, согласно критерию Сильвестра, представляет собой положительно определённую квадратичную форму. Следовательно, в точке функция имеет минимум.